Curso de Psicosis. Clase dos... 2006.

APUNTES DE CLASE... Hospital de Salud Mental Xalapa, Ver.

Si queremos abordar de verdad un curso de Psicopatología (¡Vaya palabra!) y entrar en el problema de la psicosis, no podemos desdeñar la historia de lo que ha sido el conocimiento médico. He oído que muchos colegas consideran que se trata de conocimientos distintos.... esto es posible y hasta deseable, pero para marcar bien la diferencia, vale la pena ahondar sobre las bases del tratamiento médico y lo que significa.
No me parece que baste simplemente contrastar en fórmulas el discurso analítico al del Amo según hacen algunos colegas lacanianos. Es una solución posible, pero simple, y que de seguro no fue el punto de partida de Lacan... ese es un resultado tras un razonamiento, no un credo que debamos repetir como loros.

Alrededor del siglo XIV (A.C.) los aqueos crearon la civilización micénica. Pero solamente 200 ó 300 años después, Grecia inicia la civilización admirable que tanto ha influido en nuestras concepciones del mundo en Occidente.

Observamos en ellos, el paso del mito al logos (razón) que fue precedido por una visión cada vez más naturalista de las fuerzas a las que estaba sometido el hombre. Así, la pandilla olímpica con sus dioses a semejanza de los hombres, es un acercamiento a la concepción de que el hombre actúa para el hombre, y los atributos de cada uno de éstos acercan a una visión del mundo materialista y naturalista, a una ontología profana.

El dominio del mundo del hombre a través del lenguaje, alcanza en esta sociedad un momento estelar. La magia y el encantamiento, son substituidos por categorías lógicas que no dejan de estar teñidas de la subjetividad. Los conceptos filosóficos con los que Platón y Aristóteles explican y exponen el mundo, elevan con validez universal las relaciones “fundadas” por ellos al grado de verdadera realidad. Tales conceptos como dice Vico, surgían de la plaza del mercado de Atenas, y reflejaban con igual pureza las leyes de la física, la igualdad de los ciudadanos (aunque era una sociedad esclavista, no lo olvidemos) y la inferioridad de los niños y las mujeres.

El lenguaje científico actual oculta su origen metafísico mediante el borramiento de expresiones valorativas, pero esta neutralidad (Señalan Adorno y Horkheimer) es más metafísica que la misma metafísica. No hay ser en el mundo que no pueda ser penetrado por la ciencia, pero aquello que puede ser penetrado por ella no es nunca el ser. El juicio filosófico, según Kant, mira a lo nuevo pero no conoce nunca nada nuevo, puesto que repite siempre sólo aquello que la razón ha puesto ya en el objeto.

Este pensamiento, protegido y garantizado por los diversos departamentos de la ciencia, se vuelve contra el mismo sujeto pensante, al cual no le queda más que repetir para siempre conceptos acumulados y no aceptar nuevas representaciones. Sujeto y objeto se anulan así entre sí.

En la reducción del pensamiento al aparato matemático (los psicólogos saben más de métodos estadísticos que del funcionamiento mental del paciente), se halla implícita la afirmación de que el mundo es la medida de sí mismo (sin intervención del hombre). Lo que parece un triunfo de la razón y la racionalidad objetiva, la sumisión de todo lo que existe al formalismo lógico, es pagado mediante la sumisión de la razón a los datos inmediatos. La ciencia instituye se convierte así en un nuevo mito. Pero dejemos por ahora estas reflexiones filosóficas.

La Ilíada es un verdadero tratado de traumatología. En los relatos de combate se consignan más de 145 heridas diferentes. También se habla epidemias en las que las flechas de los dioses dieron primero en los animales que a los hombres.
Para Homero nadie puede escapar al dominio de la Ananké (necesidad) y oponerse a los dioses es inútil, pese a ello se consignan en sus épicas curaciones asombrosas en las que interviene la mano del hombre.
Su visión mítica consideraba que el universo estaba regido por una ley de compensación, tan necesaria como las revoluciones siderales o la alternancia de las estaciones. El enfermo es, en principio, culpable y lo es de una equivocación cometida.
Esquilo otorga a la Ananké la búsqueda de la justicia suprema. Sin embargo, en su Orestiada, habla del capricho de los dioses que pueden transformar las Eridias (ejecutoras de la fatalidad) en Euménides (potencias benévolas).

Sófocles se acerca más a una visión trágica iniciada en Prometeo y que tiene como su centro al hombre.

Con la introducción del logos los filósofos griegos buscan explicar la Ananké de una manera naturalista y científica. Tales de Mileto asegura, que todo el mundo material proviene del agua. Anaximandro atribuye al apeirón (lo infinito) el origen de todas las cosas y afirmaba que el hombre había nacido como un pez. Demócrito confía al átomo la constitución del mundo.

La escuela de Cos inicia la exploración médica. Se diferencian en la escuela de Cnido variedades de cuadros nosológicos y se clasifican según la variedad de los órganos a los que atañen.

Llama la atención que la escuela de Cos (seguramente influida por Pitágoras) marque un carácter cíclico de las enfermedades y establece hasta reglas cifradas para prever su desarrollo, en términos generales, esa práctica no es seguida por los médicos actuales. La aritmética de las enfermedades ha sido abandonada.

Según Hipócrates una enfermedad es como una tragedia en tres actos: Progresión, estado estacionario, y mermo. En el centro del conflicto patológico y también en el pasional, interviene una peripecia mayor. Es el fenómeno de la cocción, en que el hombre transforma el principio nocivo para tratar de expulsarlo del organismo. El pensamiento hipocrático es siempre finalista, nos dice Sendrail, y ve en la crisis un esfuerzo de curación.

Supongo que en ese sentido, los psicoanalistas estamos cerca de Hipócrates cuando pensamos que el deliro es un intento de curación fallido. De hecho, la ciencia contemporánea ratifica en lo esencial, la realidad sobre la significación de las crisis.
En todos los casos, es comprobable un intervalo necesario de maduración, y el organismo obedece a ciertos ciclos.

La enfermedad según Hipócrates sólo se entiende certeramente al aplicar la razón. Ciertamente un enfermo singular es diferente de todos los demás. Los pacientes son personas, seres individuales que se reconocen expuestos a diferente herencia y condiciones de contagio.

Nuestro actual método experimental en ciencia, se orienta más hacia la búsqueda de las causas y de los medios que hacia la de los fines.

El papel del médico se reduce en muchos casos a la máxima: “Vis medicatrix naturae”. La naturaleza halla por sí misma las salidas y el remedio. El médico sólo tiene que ayudarla a hacer su labor.
La Natura Medicatrix se iguala a una fuerza que hay que evitar contrariar.

Hipócrates por su parte no se refiere sólo al cuerpo como causa de las enfermedades. Busca también los aspectos en los que influye el alma en los procesos de salud y enfermedad. La conciencia está mejor descrita en sus escritos Epidemias que en Platón.
El mal humor contra el corazón. Perjudica los órganos, mientras que las buenas disposiciones sosiegan y facilitan la curación.

Aristóteles (384 – 322 A.C.) razona en el Tratado de los Cielos: “la naturaleza no deja nada al azar”, “no hace nada no razonable ni en vano”, “realiza entre lo posible lo mejor”.

El abuso de la razón, engendra siempre fantasmas de idolatrías y de místicas aberrantes. En los subsuelos de la ciencia alejandrina se fermentan las gnosis orientales (p. ej. "ciencias como" el Feng Shui). La creencia en los horóscopos tiene su base en las mediciones erróneas del globo terráqueo de Eratóstenes y el primer astrolabio de Hiparco, también en una imaginarización anímica del cosmos y por supuesto.... la misma noción de cosmos.

En Alejandría a finales del siglo IV (A.C) los médicos ejercen en el Serapeion (llamado así por el Dios Serapis de la salud y los infiernos), anexo de la Biblioteca de Alejandría (300 A.C. – 700 D.C.).

Dos médicos son notables: Herófilo y Erasístrato.

El imperio Romano desdeñó en principio el estudio de la enfermedad. Despreció la herencia griega hasta que Celso con su De Re Médica, revivió la medicina griega y alejandrina.

Continuaremos...

El empuje a la desaparición del sujeto. Conferencia en UDLA.

En la lección inaugural pronunciada en el Collège de France que establece su presencia en la prestigiada institución y publicada bajo el nombre de “El orden del discurso

[1]”, Foucault plantea al inicio de su exposición, el problema de la regulación de los discursos posibles en la academia, que me servirá para iniciar mi reflexión y pensar en voz alta con ustedes, el motivo de mi presencia en este simposio.
Indica cómo, en toda sociedad, la producción del discurso está controlada, seleccionada y redistribuida por cierto número de procedimientos que tienen por función conjurar ciertos peligros, dominar el acontecimiento aleatorio y esquivar las consecuencias materiales de algunos discursos.
Allí establece como mecanismos de exclusión: la prohibición, la marginalización, y paradójicamente, la voluntad de la verdad según ciertos parámetros establecidos. No es difícil comprender estos mecanismos, pero de cualquier manera diremos algo de cada uno de ellos, aunque nos importa sobre todo el tercero para el desarrollo de nuestro tema.
El primero de ellos y más conocido, utiliza la represión como pivote de su lógica y ha sido implementado en las familias durante toda la época victoriana y sus ramales hasta nuestros días, para censurar el tratamiento de los temas sexuales. Si bien, esa época parece hoy lejana, y Foucault mismo ha cuestionado la existencia de la represión sexual en un texto ulterior, personalmente puedo dar testimonio, tras 20 años de experiencia clínica, que los pacientes que se presentan a psicoanálisis, sufren de la misma angustia ante su sexualidad que aquellos que veía Freud a principios del siglo pasado. Pero por si mi testimonio no fuese completamente verosímil para ustedes, no hay más que verificar que la prostitución, las salas de masajes, las terapias sexológicas, etc. se incrementan día a día y junto con los anuncios de oferta sexual que pueblan los medios de comunicación masiva, hablan de una insatisfacción general de la población en lo que se refiere al desarrollo de su vida íntima.
El segundo de ellos, es más sutil e implica la anulación de un discurso reduciéndolo a la insensatez de la locura. Erasmo, Cervantes y Shakespeare consideraban al loco como un portador de verdades que podía hablar con una claridad que no le estaba consentida al sujeto común y corriente, la medicina moderna lo considera como un enfermo con desequilibrios bioquímicos y prefiere en vez de escucharlo, medicarlo para que silencie su discurso. Fundamental en este proceso de descalificación, es el gesto de apostasía de la locura misma expresado por Descartes y contenido en sus Meditaciones Metafísicas. El pasaje citado es elocuente:


Y ¿Cómo negar que estas manos y este cuerpo sean míos, a no ser que me empareje a algunos insensatos, cuyo cerebro está tan turbio y ofuscado por los negros vapores de la bilis, que afirman de continuo ser reyes, siendo muy pobres, estar vestidos de oro y púrpura, estando en realidad desnudos, o se imaginan que son cacharros, o que tienen el cuerpo de vidrio?[2].


La voz de la locura que el Renacimiento habría liberado, será reducida al silencio en la época clásica y el golpe inicial de esta contracción se dará a través de la filosofía. Descartes encuentra la locura al lado del menospreciado sueño y de todas las formas de error. La línea divisoria entre la normalidad y la locura se establecerá de manera tajante poniendo al loco del lado de la miseria, la locura se convierte así, en naturaleza perdida, extravío de la voluntad y deseo, sin razón que no puede tomarse en cuenta puesto que altera la estructura natural del mundo que se piensa como racional. A los locos se les clasificará como a las especies de animales hasta construir inventarios dignos de la zoología fantástica que nos ha legado José Luis Borges.
El tercero de ellos, cómo les señalaba, es mucho más menudo de rastrear y consiste en el empuje a la investigación en un solo sentido, a fin de que sean los prejuicios establecidos los que normen el proceso de escudriñamiento de la realidad. Es aquí dónde quisiera detenerme un poco más, pues mi preocupación central es hoy la consideración del sujeto como objeto de estudio y la necesidad de que dicho estudio de la subjetividad e intersubjetividad implícitas en las relaciones entre hombres y mujeres sea tomado en cuenta en las políticas de investigación académica.
Quiero llamarles la atención sobre el borramiento del sujeto en una buena parte de las aproximaciones al estudio del hombre, lo que revela una profunda crisis que en la psicología, la sociología y la filosofía, que han recorrido el camino de la reificación del llamado método científico como medio de la obtención de verdades y al privilegio de los estudios descriptivos, narrativos y estadísticos a los interpretativos con la consecuente pérdida de la subjetividad que caracteriza al mismo ser humano y el valor heurístico que corresponde al ámbito hermenéutico. Estas disciplinas, en su afán de cientificidad privilegian un punto de vista empírico positivista que desconoce la especificidad del ser humano en sus aspectos concientes, pero sobre todo, en los inconscientes.
Las críticas que desde la filosofía de la ciencia se han realizado al psicoanálisis freudiano desde hace poco más de 30 años hasta la fecha, persisten en sostenerse entre algunos profesores de metodología de la ciencia, la mayor parte de los psicólogos y filósofos que desearían ver al psicoanálisis muerto y bien enterrado. Éstas mismas críticas son aplicadas hoy al estudio de la subjetividad por considerarla inútil como objeto de estudio ya que no se ajusta a un programa metodológico de corte físico ¾ biológico.
Popper y Nagel, en su momento, coincidieron al condenar la veracidad del inconsciente y el hecho de que el psicoanálisis se presentara a sí mismo como ciencia o teoría científica. Lakatos se sumó al coro de críticos, excluyéndolo de todo programa de investigación que pudiese tomarse con seriedad.
Frente a estas críticas voy a intentar mostrar cómo puede aspirarse, desde la filosofía y el mismo psicoanálisis, a una defensa del estudio de la subjetividad entendiéndola como una disciplina que se ocupa de temas como el papel del sujeto psicológico en la construcción de las instituciones sociales, la subjetividad subyacente al ejercicio de la violencia, las narraciones de historias de vida, las diferencias de género y los aspectos inconscientes que constituyen la estructuración social.
Hace algunas décadas la relación del psicoanálisis con la filosofía de la ciencia era tensa, el psicoanálisis fue blanco de diversos ataques y se le exigía demostrar con criterios lógicos y epistemológicos que el psicoanálisis era una ciencia, tal como Freud lo había soñado. Según el modelo de Popper[3], el psicoanálisis no cumpliría con algunos argumentos o criterios básicos que le validarían como científico.
En primer lugar, sufriría de una ausencia de validación empírica que le permitiría poder deducir de sus proposiciones, consecuencias que dotaran a la teoría de un contenido definido. Según este criterio, nociones freudianas como energía libidinal, conflicto edípico, etc. no son susceptibles de validación empírica, puesto que puede atribuirse los mismos efectos a otras causas. El psicoanálisis no puede probar lo que afirma y, aún considerando que su método principal fuese la interpretación, no puede expresar de manera clara y distintiva los límites de ésta, pues la teoría parece explicarlo todo de acuerdo a sus parámetros.
En segundo lugar, el psicoanálisis, tampoco cumpliría con el criterio de refutabilidad. Según Popper: "una teoría tiene que ser capaz de decir bajo qué condiciones podría no ser verdadera para ser considerada una teoría científica”. La hipótesis central, según ésta crítica sería la del pansexualismo freudiano, que cubriría todas las facetas de la conducta humana y que en ningún caso sería refutable, descartándose así su estatuto como ciencia.
En tercer lugar, la existencia de entidades desencarnadas dentro del psiquismo (ello, Yo y superyó) es una hipótesis incontrastable. El inconsciente es una construcción que no tiene hasta ahora ningún asiento en los datos proporcionados por la neurobiología y no tendría por qué tenerlos, sería tanto como pedir que hubiera un sustento biológico para el amor ó el odio, y me parece que la adrenalina ó la acetilcolina no son ninguna base explicativa de algo que trasciende la materialidad sencilla.
Y finalmente, la validez de la inducción como base para la ciencia no es sólo filosóficamente insegura, sino que también desacertada, porque los científicos no trabajan como prescribe el modelo inductivo. En la práctica científica, la teoría normalmente precede al experimento o al proceso de recolección de datos.
Todos estos argumentos son difícilmente aplicables de manera estricta a lo que se juega en las ciencias humanas que es una lógica cualitativa y en particular, en el caso del psicoanálisis, prueban una incomprensión crasa de esta disciplina.
En primer lugar, porque la inducción se utiliza en casi todos los estudios sociales y no ha sido descartada como método de investigación, el uso de predicciones generales según la cuales un símbolo dicente continuará representando un hecho si las circunstancias de su producción son idénticas es la base de casi todos los estudios sobre el hombre, aún sin tomar como base el problema del estatuto incierto del referente.
Hay que tomar en cuenta también que los tan socorridos estudios probabilísticos que hacen que se estudie estadística como parte inseparable del currículo de los psicólogos no son ninguna fórmula infalible en la predicción de hechos. Las estadísticas son como los bikinis, revelan muchas cosas, pero siempre ocultan lo esencial. Leonard Mlodinow[4] se pregunta ¿por qué los griegos no desarrollaron una teoría de la probabilidad? Dado que en la historia de las matemáticas destacan como una de las civilizaciones más sobresalientes. Quizá hubiera sido relevante una teoría de este tipo, y la posibilidad de predecir en base a este criterio. Pero, precisamente el pensamiento griego rechaza esa posibilidad. En el Fedón de Platón, Simmias le dice a Sócrates que los argumentos a partir de las probabilidades son impostores, anticipándose a Kahneman y Tversky que señalan que: “a menos que se utilicen con gran cautela, tienen la tendencia a ser engañosos”[5]
Por otro lado, el psicoanálisis después de Freud, no se propone como una teoría general que proponga leyes y principios universales que subsuman todo fenómeno humano, menos aún en base al pansexualismo que no es una hipótesis de base, sino adjunta a la comprensión psicoanalítica. Los psicoanalistas siempre han sido muy concientes de sus limitaciones en el campo de la predicción y de la aplicación de sus conceptos fuera del marco analítico.
Si no fuese así, la injusta e inverosímil guerra que aún los Estados Unidos libran contra Irak, o la asesina intervención del Estado de Israel sobre Palestina, podrían ser justificadas como producto corriente de un impulso de destructividad en el hombre. Cuestión que queda fuera de lugar - no conozco a ningún psicoanalista que sostenga tal opinión - frente a los intereses económicos que hacen posible que un ejército de horcos hagan un trabajo de devastación y muerte para el que fueron preparados en sus países como se entrena a un plomero o un mecánico.
En segundo lugar, porque las pruebas de recolección de datos que se piden a los analistas alteran completamente su objeto de estudio. Nos encontramos en el mismo caso que el de la aplicación de la paradoja concebida por Erwin Schrödinger en el año 1937 para ilustrar las diferencias entre interacción y medida en el campo de la mecánica cuántica. Si nosotros aplicamos un aparato de observación a la situación analítica, el observador interactúa con el sistema y lo altera, decanta el sistema hacia un resultado que no podría esperarse, si hubiese dejado intacto el encuadre con el que interactúa habitualmente con su paciente. Por ello me parece inútil que se introduzca una cámara en la sesión analítica para observar y verificar a punto la práctica analítica.
Y por último, la crítica a la existencia de entidades descarnadas no puede calificarse sino de ingenua y descalificable desde la reformulación que en 1967 hizo el mismo Popper[6] al sostener su teoría de los tres mundos. En ella, denomina Mundo 1 al conjunto de estados y de cosas existentes o mundo de las cosas materiales o estados físicos; Mundo 2 a los estados de la mente privados e individuales, es decir, el mundo subjetivo de las mentes, de los estados mentales o estados de conciencia y Mundo 3 al conocimiento objetivo o conjunto de datos e informaciones almacenados en libros, películas, discos magnéticos, etc., que constituyen el fundamento de la objetividad, así como el mundo de estructuras objetivas producidas por las mentes de las criaturas vivientes, que una vez producidas y almacenadas (en el lenguaje mismo, por ejemplo), tiene una existencia propia o autónoma. Para el escucha avezado en la teoría lacaniana, le sonarán familiares estas nociones como una aproximación equívoca a lo que queda mejor establecido como la tríada: Real, Imaginario y Simbólico. El gran problema de la teoría de los tres mundos es considerar al Mundo 2 como una actividad meramente del sujeto conciente (identificado con una especie de máquina de Turing dedicada a trazar algoritmos de la realidad y resolver problemas sin atención más que a una lógica matemática) que objetiviza su conocimiento del mundo plasmándolo en la letra (Mundo 3), que constituiría el fundamento mismo del conocimiento humano, convirtiéndose en un dominio sin sujeto y plenamente autónomo.
Nosotros pensamos que las leyes no hablan por sí solas. La noción de episteme enunciada por Foucault en ese complejo libro pleno de singular poesía, llamado Las palabras y las cosas, abre luz sobre el estatuto del dominio del Mundo 3. Una episteme puede definirse como una estrategia de juicio producto de las preocupaciones de una época, que posee una coherencia interna que hace posibles campos de conocimiento pero que obedece y se conforman a contrapelo de cualquier voluntad conciente u afán objetivo y se rige estrictamente por determinantes históricas.
Castoriadis[7], agrega a esta discusión, que se puede hablar en nombre de las leyes, del Estado, etc. y que este tipo de enunciaciones pueden cumplir una función importante, pero jamás nadie habla en nombre de una persona a menos que se le ordene que lo haga.
Hemos dedicado mucho tiempo a hablar de un solo autor en relación con nuestro tema de interés. Los ataques al estudio de la noción de Sujeto proceden, sin embargo, de diferentes lugares.
En este sentido, cabe preguntarse qué lugar ocupa el psicoanálisis en la reflexión de las ciencias humanas y la respuesta no es difícil de encontrar: se ocupa del Sujeto, de la persona humana y sus afectos. ¿Puede entonces llamarse a esto una ciencia? Aristóteles distinguía el arte de la ciencia por un saber hacer que nos conduce a las causas y los principios. El psicoanálisis en este sentido, no puede ser otra cosa que la ciencia del Sujeto, si se quiere, en el sentido más lato que pueda denominarse una ciencia y sin descartar que pueda también ser una hermenéutica como lo sostiene Ricoeur o incluso una ética como lo afirma Lacan. El afán de los esfuerzos de los psicoanalistas será cuestionar al sujeto descartiano. El sujeto de la cogitación, del enunciado, del pensamiento conciente, es cuestionado por Freud puesto que olvida el cuerpo y sus necesidades, y no comprende el mundo más que a través de la razón. El sujeto de la enunciación, de la existencia, rebasa las afirmaciones implícitas en el razonamiento de Descartes:
YO SOY LO QUE PIENSO, EL QUE PIENSA SOY YO.

“Yo” no soy lo que pienso o no totalmente al menos, soy más que eso. Soy la suma de mis prejuicios, de la imagen falsa y narcisística que poseo, de mis pasiones, de las sentencias y prohibiciones morales de mis padres y mis abuelos, de las aporías que me habitan. Yo no pienso, sino en mí habla el lenguaje que es transubjetivo y que no me pertenece a mí, ni a nadie. Mi Yo, mi discurso conciente, es el crisol dónde se funden historias de generaciones atrás y que aparece como una unidad engañando al ojo como lo hacen los anamorfismos de pintores como Archimboldo o Salvador Dalí. La película “Being John Malkovich” (1979) muestra de manera tragicómica la posibilidad de que nuestra identidad no sea sino una fachada, una marioneta o un árbol hueco, habitado por uno o más personajes provenientes del presente y sobretodo del pasado.
Hoy en día, la gran mayoría de las academias en las universidades se alinean para desconocer al psicoanálisis y de paso al Sujeto. No sólo desde la descalificación misma de todo discurso que hable de estos temas, sino ¾desgraciadamente¾ haciendo uso también de los mecanismos de represión y marginalización antes descritos. En la mayor parte de las universidades en México no se enseña psicoanálisis ni se habla de la subjetividad: no en filosofía, no en psicología, y menos en disciplinas como la sociología o la antropología. ¿Podemos detenernos un poco a pensar sobre el asunto? Según la paradoja de Schrödinger, las partículas alfa del experimento que podrían ser o no liberadas por el átomo radiactivo colocan al gato amenazado en un 50 % de posibilidades de estar vivo o muerto, colocándolo en la condición ilógica de medio muerto o medio vivo. Sin embargo, en el caso del Inconsciente y el sujeto, lo que topamos habitualmente cuando hablamos de éste ante quienes tienen una formación neopositivista y empírica es el 100 % de descrédito.
Confiamos que el panorama cambie y llegue muy pronto el día en que podamos hablar abiertamente de estos temas en todas las escuelas de psicología, yo digo siempre a mis alumnos que la posición secundaria que tiene nuestra disciplina en nuestro país es una cuestión de zeitgeist (circunstancia tiempo espacio)... en otros países no es tratada de la misma manera...
En el caso de la relación Psicoanálisis y Psicología estamos más que nada en camisa de once varas. Porque ninguna otra disciplina ha sido más influida por los ideales de las ciencias naturales que la nuestra. Es un absurdo, porque querer aplicar los métodos de las ciencias naturales a la naturaleza subjetiva del hombre es no sólo una insensatez, sino un suicidio cantado de tal proyecto.
Pero me he extendido demasiado... y quisiera dar espacio a sus preguntas...


(Conferencia en la UDLA pronunciada en el año 2002, con un par de notas añadidas en 2009)


[1] Foucault Michel. El orden del discurso. Ed. Tusquets. Barcelona 1999.
[2] Descartes René. Meditaciones metafísicas. Ed. Espasa Calpe Mexicana S.A. México 1977. P. 94.
[3] Popper Karl. Conjectures and Refutations: The Growth of Scientific Knowledge, Routledge-Basic Books, Londres-Nueva York 1963.
[4] Mlodinow Leonard. El andar del Borracho. Crítica. Barcelona 2008. Esta nota ha sido agregada en 2009.
[5] Op. Cit. Ídem.
[6] Popper Karl. Conocimiento objetivo. Tecnos, Madrid 1992.
[7] Castoridis Cornelius. L’institution imaginaire de la societé. Le Seuil, Paris, 1975.

Asterisco y subrayados... educación.

Quiero recomendarles que visiten el Blog de mi amigo Omar Piña (Asterisco y subrayados), periodista independiente con opiniones verdaderamente interesantes sobre lo que nos sucede, no sólo en Veracruz, sino en el resto del país.
Transcribo para ustedes su última entrada, como un ejemplo de lo que allí encontrarán:

miércoles, febrero 18, 2009
Universidad o que se los lleven al baile

La educación es un negocio redondo tanto para los inversionistas como para los funcionarios que están al frente de las instituciones. A la mayoría de los comerciantes que fundan “universidades privadas” les reditúan las ganancias gracias a: el servicio deficiente, las instalaciones que apenas cumplen con los requisitos básicos para funcionar como edificios escolares y a los salarios míseros que reparten entre su planta académica. Y obvio, gracias a las cuotas mensuales que pagan los alumnos.Quienes asisten a las denominadas “universidades patito” o a los institutos milagrosos que prometen cambiar la vida de sus inquilinos en apenas dos años o los que de plano se conforman con las famosas academias “Vázquez”; en el fondo saben que asisten a un engaño. Y aunque lo pagan con menos gusto que sacrificio, piensan que su esfuerzo se verá recompensado con un empleo y pago dignos. La mentira se cuaja rápido: si en México no hay mercado laboral para los profesionistas egresados de instituciones serias, menos para aquellos que tuvieron el infortunio de comprar un título que no sirve para otra cosa que colgarlo en la pared de su casa.Pero ellos pagaron y el que paga manda. Esos desafortunados alumnos cumplieron con su cuota mensual como lo hacen las personas que adquieren productos milagrosos que anuncian los programas nocturnos en la televisión abierta y la de paga.El caso es diferente para quienes no tienen el dinero suficiente y se enganchan con el discurso oficial que repite que el Estado Mexicano está obligado a prestar servicios de educación para adultos. Existen los organismos públicos creados para atender la demanda de formación y educación continua de los adultos. Pero también entre los que tienen buenas intenciones están los funcionarios que prometen la Seca y la Meca a sus gobernadores. Esos, con tal de que su jefe se adorne con informar a la población que ellos hacen lo posible porque este sea un país tupido de licenciados, promueven fraudes.Si no se vale jugar con el dinero de los incautos, menos aún con el tiempo y el esfuerzo de los adultos que dan lo mejor de sí para encontrar una mejor oportunidad en la vida laboral. El Instituto Veracruzano de Educación para los Adultos vuelve a estar en el entredicho, los egresados dicen que sus títulos no cuentan con la validez oficial. Hagamos un breve ensayo de memoria y recordemos, en lo que va de la actual administración estatal, ¿cuántas veces los funcionarios en materia educativa han puesto el dedo en la llaga o en la credibilidad de la población?

Al leer esta nota, no pude sino asociar libremente y pensar también en la múltiple y variada oferta de " formación psicoanalítica" que de un poco de tiempo acá, ha surgido en el mercado nacional, especialmente en la Cd. de México. Cursos intensivos, certificados de asistencia, conferencias y diplomados, maestrías a distancia personalizadas a gusto del demandante... ¿Cuál es la garantía de estos cursos respaldados por nombres que muchos de ellos no conocemos? Eso sí... todos con títulos rimbombantes y a precios altísimos, con cuotas mensuales, anuales, semestrales que exceden cualquier presupuesto medio de un estudiante, lo que indica que están dirigidos a un público particular pequeñoburgués o más que eso.
Por eso, es importante que estudien muy bien las posibilidades de oferta, quienes se acercan a estudiar por vez primera el psicoanálisis, no ser tan crédulos en lo que se les ofrece y verificar muy bien que la formación que se ofrece sea seria, el instituto o asociación con historia y prestigio en el medio, los maestros psicoanalistas bien reconocidos... que sostengan un proyecto analítico y no solamente un negocio educativo.

Internet: ¿red privada?

Nota de la BBC:

Científico creador de Internet aboga por una red libre
Por: BBC Fecha de publicación: 24/05/06


Uno de los inventores de la Internet, Sir Tim Berners-Lee advirtió que el mundo debería alejarse de propuestas para fragmentar la red mundial de informática.Las recientes gestiones de Estados Unidos para cobrar por el acceso a distintos niveles de la red no "forman parte del modelo de la Internet", señaló el experto en la inauguración de una conferencia en Edimburgo.El científico vaticinó que si EE.UU. decidiera avanzar con el proyecto de una red de varios niveles de acceso la Internet atravesaría "un período oscuro"."Lo más importante desde mi punto de vista es que la red sea una sola", dijo. "Cualquiera que quiera dividirla en dos descubrirá que su mitad será muy aburrida".Crecimiento explosivo :El científico británico desarrolló la Internet gráfica (World Wide Web) en 1989 como una herramienta académica que permitiría a los científicos compartir datos. Desde esa fecha la red ha tenido un crecimiento explosivo."Uno logra una tremenda satisfacción cuando uno se pone a buscar en la Internet y encuentra un sitio que no estaba buscando", dijo Berners-Lee.El crecimiento de la red ha generado polémica entre los proponentes de un sistema abierto como el científico británico y otros sectores que favorecen la segmentación.Berners-Lee, quien encabeza el World Wide Web Consortium, aboga por la idea de neutralidad en la red, un concepto bajo el cual todos tienen el mismo acceso a la Internet y todos los datos que transitan cuentan con la misma prioridad.Visiones encontradas :Empresas como Microsoft y Google respaldan esa visión y se han pronunciado a favor de leyes que garanticen la neutralidad de la red.Sin embargo las empresas de telecomunicaciones de EE.UU. se oponen a esa idea. Sus ejecutivos favorecen un sistema de dos niveles en el que los datos de compañías e instituciones que pueden pagar aranceles tendrán prioridad sobre los que no están dispuestos a hacerlo.Esta polémica alcanzó un nivel candente con la transmisión de programas televisivos a través de la Internet. Algunos proveedores de banda ancha quieren cobrarle a los productores de contenidos por la puesta en red de su material.Muchos proponentes de la comunidad de la Internet sostienen que esto amenaza el modelo abierto de la red porque en ese caso los proveedores asumirían un papel de controladores de contenidos de la red.También existe el temor de que muchas instituciones como universidades y organizaciones caritativas quedarían rezagadas por su falta de capacidad económica para solventar costos más elevados.

REVISTA GRUPO No. 10. UANL.

Ha llegado a nuestras manos el No. 10 de la Revista Grupo publicado por la Universidad Autónoma de Nuevo León y dirigida por nuestro colega y querido amigo Rodolfo Álvarez del Castillo. El número se encuentra casi completamente dedicado a recordar al recientemente desaparecido Armando Bauleo. He aquí un fragmento de la EdItorial :

El movimiento psicoanalítco en general y en particular su parte crítico social ha sufrido la pérdia de uno de sus integrantes más activos y combativos, el doctor Armando Bauleo que falleción el 19 de abril del presente año. Psicoanalista formado en la Asociación Psicoanalítica Argentina, colaboró estrechamente con su maestro Enrique Pichón - Rivière en los años del surgiemiento de la psiquiatría social y los gurpos operativos. Realizó su análisis didáctico con Mari Langer, otra figura importante en la historia del movimiento psicoanalítico latinoamericano, con quien compartirá uno de los proyectos que más impacto tuvieron en la institución psicoanalítca oficial de los años sesenta y principios de los setenta, el movimiento Plataforma Internacional, el cual salió a la luz pública durante la celebración del XXVI Congreso psicoanalítico Internacional organizado por la IPA en la ciudad de Roma en 1969 yde el qeu fue uno de sus principales promotores junto con Berthold Rothschild de Suiza y Elvio Fachinelli de Italia.

CONTENIDO:

NOTAS PARA UNA HISTORIA DE PLATAFORMA INTERNACIONAL Y SUS ANTECEDENTES.
RODOLFO ÁLVAREZ DEL CASTILLO

RACIONALIZACIÓN Y CONTRAREVOLUCIÓN.
ARMANDO BAULEO

ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE EL SUJETO DE PLATAFORMA.
ARMANDO BAULEO

ARMANDO BAULEO. UNA BIOGRAFÍA EN PROCESO.
HORACIO FOLADORI

EL SUJETO DE PLATAFORMA: LEXICÓN BIOGRÁFICO Y BIBLIOGRÁFICO.
RODOLFO ÁLVAREZ DEL CASTILLO.

GRUPOS OPERATIVOS: ALTERNATIVA PARA UNA EDUCACIÓN LIBERADORA
MA. EUGENIA TOLEDO HERMOSILLO

CONFERENCIAS:

APRENDIZAJE Y COMUNIDAD. ARMANDO BAULEO.

CLASES:

LA ENTREVISTA. ARMANDO BAULEO

Poética del psicoanálisis.

Ésta es la portada del libro escrito por mi amiga Rosario Herrera Guido, publicado a finales de 2008 por Siglo XXI con el apoyo del Conacyt.
La contraportada dice:

Poética del psicoanálisis es un libro que nace de un permanente diálogo entre la filosofía y el psicoanálisis, aderezado con al teoría poética, la literatura y la experiencia analítica. Una aventura que trata de sistematizar y construir un inconsciente estructurado como una poética en cuya fuetne beben filósofos, psicoanalistas y poetas. Los temas que aborda van del paso de la episteme de al mirada médica a la episteme de la escucha poética del inconsciente, pasando por el ser y el pensar, hasta una (po)ética del psicoanálisis que es puesta a prueba en la ética, la poiesis, el tiempo y la escritura del inconsciente, en compañía de de Freud, Lacan, Braunstein, Kierkegaard, Heidegger, Derrida, Trías y Paz entre otros. Una obra que postula como imprescindibe una metáfora fundamental, la metáfora paterna, que sustituye el deseo de la madre por el-nombre-del-padre, la naturaleza por la cultura, el amor por el deseo y el goce puro por el goce lenguajero, que permite el advenimiento del sujeto del inconsciente, que impide el derrumbe subjetivo a través de la relación metafórica y poética con el mundo, opuesta al discurso del poder.

Juan Verdaguer más que un simple cómico.

Les recomiendo ir a esta entrada de Blog y ver: juan verdaguer

Humor: medicina para el alma...

¡Ay México!...

Vale la pena, oir y ver con atención lo que dijo Denisse Dresser, académica del Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), el 30 de enero de 2009 en el panel "México ante la crisis", efectuado en la Cámara de Diputados.
Los "representantes del pueblo" todavía le aplaudieron... o son monos amaestrados o les entró por un oído y les salió por el otro... quizá las dos cosas. En todo caso, como señaló Lorenzo Meyer en su programa de televisión Primer Plano (Canal 11), no son ellos a los que hay que hablarles.

¿Dónde está la psicología en México?

Para aquellos que se hagan la pregunta sobre cuál es el panorama radiante de la psicología en este país, les muestro aquí algunos títulos de conferencias que se impartieron en el XVI Congreso Mexicano de Psicología, celebrado en octubre 2008 en Monterrey, Nuevo León:

Automovilistas enojados: características e intervenciones clínicas (¿¿¿Psicólogos de crucero???)
Jerry L. Deffenbacher

La regulación profesional de la psicología en un mundo plural y tolerante (Eso... más reglas... )
Arturo Silva Rodríguez

Prevención de la depresión posparto (¿No tener hijos?)
Ma. Asunción Lara

La personalidad como estilos interactivos (?????)
Emilio Ribes Iñesta


Dimensiones psicológicas de la pobreza (!!!!!!)
María Montero y López Lena


Bondades y penas de las relaciones de pareja: de la evolución a la cultura; de la investigación a la aplicación (Obvio más obvio... ¿igual a manipulación?)
Rolando Díaz-Loving


Estimulación visual erótica y arousal sexual (¿Excitarán las películas porno?)
Marisela Hernández González

Satisfacción sexual en parejas casadas: Su medición y explicación desde un modelo estructural lineal (¡Ja!)
José Moral de la Rubia


De la violencia al amor, hipnosoluciones en TBS (¡Hay que mandarlo a Gaza!)
Ruperto Charles Torres


¡Dios nos ampare! ¿Puede haber un paisaje más estéril para esta disciplina? Algunos títulos son completamente inútiles, otros verdaderamente idiotas... ¿No tienen esos psicólogos nada de provecho qué hacer en la clínica? Algo así como: escuchar a los pacientes.

Las mejores frases de la TNT16

¡Esto es México...! Expo Manga en Tlatelolco... Para lo que gusten y manden.... ¡Saaaaalud!

NÚMERO Y NATURALEZA: LA DANZA DE PITÁGORAS

FRAGMENTO DEL LIBRO DE JOSÉ LUIS DÍAZ: El ábaco la lira y la rosa. Las regiones del conocimiento. (Capítulo VII)

LA SUSTANCIA DEL NÚMERO

A PESAR de ser el lenguaje universal de la ciencia y el objetivo final de múltiples teorías científicas, el status de la matemática en tanto disciplina del saber humano es notoriamente borroso. ¿Qué es, específicamente, la matemática? Thomas Tymoczko del Smith College nos lleva a un tour por los extraños bucles de esta cuestión. Para empezar veamos algunas respuestas curiosas.

Para Friederich Ludwig Frege (1848-1925), el fundador de la lógica matemática y de la teoría del significado modernas, la matemática es un tipo de metafísica, la ciencia más general de la realidad que incesantemente busca "las leyes de las leyes naturales". En este mismo sentido podemos afirmar hoy en día que en efecto las matemáticas forman una especie de andamiaje metafísico del edificio científico. Por su parte, Rudolf Carnap (1891-1970), el destacado filósofo del Círculo de Viena y del positivismo lógico, consideraba las matemáticas como un tipo de lenguaje que busca las consecuencias analíticas de ciertas convenciones lingüísticas. Ciertamente, la matemática es un tipo de lenguaje, el más abstracto de ellos, con el que se expresan cierto tipo de relaciones mediante signos convencionales. Sin embargo se antoja que es algo más que un lenguaje, o bien, que si aceptamos que es un lenguaje, no se nos aclara con ello más que su léxico. Poco podemos decir de cuál es el significado de los signos y las operaciones. Para otro de los matemáticos más formidables del siglo, Kurt Godel (1906-1978), el mismo que demostrara con el famoso teorema de la incompletud la imposibilidad de probar o falsificar las proposiciones matemáticas a partir de sus axiomas fundamentales, la matemática es un tipo de psicología introspectiva que informa de ciertas construcciones del pensamiento o la imaginación, o mejor aún, un tipo de geografía interior que busca precisar ciertos mapas del paisaje mental. Por más que nos pueda sorprender esta declaración, no podemos dejar de reconocer que las leyes matemáticas emanan de operaciones cognitivas necesariamente restringidas o moduladas por el aparato mental. Este mismo tipo de pensamiento late en el fondo de la filosofía racionalista que supone que el Conocimiento surge de la propia mente más que de los objetos del mundo. No en vano varios de los mayores filósofos racionalistas como Descartes o Leibniz fueron matemáticos.

Ahora bien, en el lado opuesto nos encontramos al empirista John Stuart Mill (1806-1873), para quien la matemática es una ciencia natural, de hecho la ciencia más inductiva que existe. Para los empiristas primero son los objetos, digamos los dedos, y de su percepción se derivan los conocimientos, digamos los números y sus operaciones. Es curioso que esta idea, que se nos antoja del mayor sentido común, sea la que menos aceptación tenga en los círculos matemáticos y de filosofía de la ciencia y haya sido refutada de manera contundente por Frege. El argumento que plantea es de una diáfana brillantez. Dice que si la matemática es empírica, entonces debe estudiar objetos reales, incluidos los procesos y los eventos. Por lo tanto, los objetos que estudia la matemática serían reales y no imaginarios o abstractos. En este punto el empirista se ve obligado a admitir aquello de lo que abjura: el número, la función, el logaritmo o la integral serían reales y no abstractos; de hecho, tan reales como las manzanas y los átomos. Pero como no hay números puros observables en el mundo habría que pensar en ellos como arquetipos de Platón, es decir, como objetos existentes en realidad, aunque en un plano ideal o trascendental donde fungen como templetes o modelos.

El asunto es tan anudado que algún pensador ha dicho que los matemáticos pueden disfrutar de los beneficios del platonismo sin tomar las responsabilidades. En otras palabras, los matemáticos pueden hablar como si sus entidades abstractas existieran, ¡pero sin realmente creer en ellas! La matemática sería así una especie de mitología, en la que usamos los mitos para entender ciertas realidades, explicar ciertos fenómenos o fundamentar los valores éticos, pero no creemos que Zeus o Edipo existan "en realidad". Sin embargo esto no explica por qué todos estamos de acuerdo en las pruebas matemáticas ni por qué no tenemos la misma actitud de referirnos a los átomos o las manzanas como si existieran pero sin realmente creerlo.

William Quine (nacido en 1908), el famoso lógico de Harvard y uno de los padres de la llamada filosofía analítica, argumentó que la matemática es un universo continuo y no separado del de la ciencia y que ambas eran necesarias para justificar nuestra experiencia. El número y el átomo son postulados cuya existencia se justifica plenamente por el papel que desempeñan en explicarnos las cosas. Según esto, las matemáticas no son completamente empíricas, o sea, que no están totalmente ancladas a la realidad, pero tampoco son pura geografía mental, sino que flotan en el limbo entre ambos mundos. Resumiendo: son casi empíricas."

Pongámoslo en términos del matemático inglés Roger Penrose: ¿son las matemáticas invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos llegan a resultados en sus cálculos, ¿producen sólo construcciones mentales o encuentran, como se supone que hace la ciencia, realidades que estaban ahí listas para ser descubiertas? Es de notarse que si aceptamos la segunda opción, como lo hace Penrose sin ambages, de nuevo le estamos otorgando al número un status de realidad concreta en el sentido del arquetipo platónico.

En este momento debe hacer su entrada al espectáculo la computadora. Después de todo la computadora no es una persona, aunque hay quien argumenta lo contrario. En cualquier caso la computadora no tiene mente en el sentido humano del término y es, además, un aditamento tecnológico como el ábaco o el microscopio, pero un aditamento que habla (o mejor dicho que opera) con lenguaje matemático. En ese caso podemos hacer una pregunta determinante: además de hacer operaciones matemáticas, ¿puede la computadora probar o producir un teorema? La respuesta es afirmativa. La computadora puede probar teoremas, incluso complejos, pero la manera como lo hace no se parece a la forma, por ejemplo, como se prueba el teorema de Pitágoras, sino que se parece más a un experimento científico cuyo resultado puede obtenerse si se reproducen ciertas condiciones. Conclusión: la computadora tampoco nos demuestra que la matemática sea netamente racional o empírica. Nos quedamos con la nebulosa solución de Quine.

El punto fundamental que Tymoczko quiere demostrar es que los objetos abstractos existen y que pueden ser analizados científicamente. Más aún, que los objetos del mundo son también abstractos. Recordemos que la diferencia entre lo concreto y lo abstracto es que lo primero ocurre en el espacio y el tiempo y lo último supuestamente no. Con los objetos concretos —pelotas, bosques, nubes, átomos o manzanas— podemos interactuar, con los abstractos —números, pensamientos, creencias— no. Ahora bien, si consideramos que todos los objetos son abstractos, nos vemos en la necesidad de aceptar que sólo existe la mente o de que es lo único de lo que podemos estar seguros. De esto, que es idealismo puro, reniega la ciencia, aunque no faltará algún neurocientífico astuto que diga que, en efecto, la realidad es fabricada no precisamente por la mente sino por el cerebro, lo que viene a ser lo mismo. Todo lo que percibimos, pensamos, inferimos, incluido el lenguaje común y el matemático, es producto de la función cerebral o la función misma. Sin embargo, si queremos ser insidiosos, podremos agregar que también el cerebro es un objeto más de ese mundo de la mente.

En fin, quizás se pueda considerar al materialismo y al idealismo (o a sus parientes, el empirismo y el racionalismo) como puntos de vista complementarios, o que los objetos son a la vez concretos (es decir, que existen fuera de un observador) y abstractos (que su representación mental es una construcción). Pero dentro de esta conciliadora solución, ¿dónde quedó el número?

NÚMERO, ARTE Y NATURALEZA: UNA RELACIÓN EN SERIE

Bajo los tediosos cálculos y manipulaciones de las matemáticas yace un mundo de formas y pautas. Podemos comprobar esto en algunas secuencias de números. Una de las secuencias más llamativas es la serie que presentó Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci (c. 1170-1250), al introducir el álgebra en Italia después de haber estudiado en el norte de África con un matemático árabe. En su libro Liber abaci (1202) presentó los números indo-arábigos que se empezaban a conocer en Europa por la traducción al latín de Al-Kwarizimi y con los cuales Fibonacci afirmaba, acertadamente, que cualquier número podía escribirse. En ese libro Fibonacci introdujo la secuencia que lleva su nombre.

Significativamente, la serie se originó al resolver un problema biológico supuesto: ¿Cuántos pares de conejos se pueden producir a partir de un solo par, si cada par produce un nuevo par cada mes, sólo los conejos de más de un mes de edad pueden reproducirse y ninguno se muere? Analicemos el problema: al principio hay un par de conejos, al mes sigue habiendo el mismo par, pero al segundo mes hay dos pares. Una de esas parejas puede reproducirse, pero la otra no, de tal forma que al tercer mes hay tres parejas. Dos de ellas se reproducen y a los cuatro meses hay cinco pares de conejos. Comprobemos cómo va la secuencia de parejas: 1,1,2,3,5. Al analizar la serie nos damos cuenta de que no hay que continuar el cálculo razonado porque la sucesión tiene una pauta numérica recursiva: cada término o cifra de la misma es el resultado de sumar los dos términos precedentes. A partir de entonces la secuencia 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... se llama serie de Fibonacci. El matemático francés E. A. Lucas introdujo, a fin del siglo pasado, la secuencia 2,1,3,4,7,11, 18... y otras similares que han recibido su nombre.

Los números de Fibonacci y de Lucas son ejemplos perfectos de sucesiones recurrentes o conjuntos recursivos: aquellos que, a partir de dos elementos y gracias a una regla recursiva, echan a rodar una bola de nieve formada por un conjunto infinito de numeros. Este tipo de programas son inductivos y característicos del pensamiento lógico. Douglas Hofstadter considera al par inicial (1, 1 para la serie de Fibonacci y 2,1 para la de Lucas) como el genotipo del cual surge el fenotipo, que es toda la secuencia, una ingeniosa analogía del proceso mediante el cual un conjunto de genes (genotipo) origina una característica física o conductual de los seres vivos (fenotipo). Pero la metáfora en este caso va más allá de la mera analogía.

Aparte de múltiples y curiosas propiedades intrínsecas, las series de Fibonacci tienen una notable relación con formas artificiales y naturales. Robert Simpson de la Universidad de Glasgow notó ya en 1753 que en tanto los números de la serie aumentaban en magnitud, la relación entre dos términos subsecuentes, es decir, la división del número siguiente entre el anterior, se aproximaba a F (phi), la sección dorada o el número de oro de los antiguos y cuyo valor es 1.6180. Esta misma cifra se había obtenido originalmente al dividir un segmento cualquiera en dos porciones desiguales tales que la porción menor fuera a la mayor como ésta a todo el segmento. La relación entre los dos segmentos es la sección áurea, que se encuentra frecuentemente en la geometría.

Así, el lado de un decágono regular es igual a la longitud del segmento más largo de su radio dividido en la sección dorada y el lado de un pentágono regular tiene la proporción dorada respecto a la diagonal. Ciertamente la estrella de cinco puntas que se dibuja en el interior del pentágono figura en los rosetones de las catedrales góticas y fue uno de los símbolos de la deidad. Además, en un rectángulo "dorado" los lados tienen una relación cercana a phi, es decir, una proporción de 5: 3, de 8: 5, de 13:8, etc. Los números son, desde luego, vecinos en la serie de Fibonacci. Este rectángulo tiene las proporciones más agradables a la percepción, por lo que suele usarse para definir el tamaño de libros o cajas, además de tener interesantes propiedades.

Por ejemplo, si al rectángulo dorado ABCD se le quita un cuadrado perfecto ABEF, el rectángulo remanente es también un rectángulo dorado al que se puede quitar un cuadrado, y así sucesivamente. Si trazamos los arcos circulares se forma una espiral logarítmica que se encuentra en la naturaleza y que fuera analizada geométricamente por Descartes como la curva de vectores radiales que se traza de un punto fijo (el centro de la espiral) bajo un ángulo constante de 137.5.

Toda una estética pitagórica se funda en el número de oro. Tuvo una gran influencia sobre Leonardo da Vinci y Durero en sus empeños para cuantificar y encontrar bases matemáticas de diseños plásticos y arquitectónicos. El rectángulo dorado fue usado por el pintor impresionista George Seurat en múltiples cuadros, como La Parade (1888) y afirmó al respecto en una carta: "¿ven poesía en mi trabajo?. No: yo aplico mi método, eso es todo." La proporción áurea fue usada también por el eminente arquitecto de origen suizo Le Corbusier (1887-1965) en su teoría del modulador, la unidad arquitectónica para obtener dimensiones armónicas y que estableció como una proporción dorada de la estatura humana.

Figura 8. El rectángulo dorado.

Una correspondencia aún más notable es el hecho de que los números de la serie de Fibonacci y la espiral logarítmica ocurran frecuentemente en la naturaleza. El ejemplo más notorio es la filotaxia espiral de ciertas plantas y se refiere a la ordenación de sus hojas de manera helicoidal como consecuencia del desarrollo de las hojas que brotan una a una y crecen donde el espacio disponible entre ellas es mayor. La filotaxia se representa por una fracción en la cual el numerador es el número de vueltas alrededor del tallo y el denominador el número de hojas, ramas o espinas en ese recorrido. En todos los casos estos números son términos de las serie de Fibonacci. Además, el número de pétalos en las flores suele ser miembro de la serie: lila (3), ranúnculo (5), espuela (8), caléndula (13), aster (21) y varios tipos de margaritas (34, 55, 89). La espiral logarítmica se encuentra, además de las espirales de la filotaxia, en las conchas de los caracoles o los retorcidos cuernos de animales. Pero no sólo en las formas de los seres vivos se han hallado series de Fibonacci: los astrónomos se han percatado de que los eclipses tienen pautas de repetición cada 6, 41, 47, 88,135, 223 y 358 años, secuencia que corresponde a una serie de Lucas.

A pesar de que están muy bien establecidas las razones por las que ocurre la serie numérica, la proporción áurea en arte y la filotaxia, sigue siendo un misterio la razón de su inquietante coincidencia. El poeta simbolista Paul Valéry (1871-1945) veía en esto la razón de un dinamismo que representa el equilibrio entre el saber, el sentir y el poder. No en vano Valéry era uno de esos raros espíritus que se encontraba como en su casa entre conocimientos filosóficos, matemáticos, arquitectónicos o literarios de manera tal que, por ejemplo, estaba versado en el trabajo de los mayores físicos de su tiempo, como De Broglie, Einstein o Maxwell.

Como colofón agregaré que, en forma por demás sugerente, Ghyka (citado en el Diccionario de los símbolos de Chevalier y Gheerbrant) consideraba la sección áurea el "símbolo abreviado de la forma viva, de la pulsión, del crecimiento".

LA GEOMETRÍA DEL OURÓBOROS

He mencionado que los números que llamamos arábigos se empezaron a usar en Europa después de la obra de Fibonacci en el siglo XIII, varios siglos después de que fueran introducidos al mundo islámico por Al-Kwarizimi quien, a su vez, los tomó de la India. Estos diez dígitos singulares que corresponden a las unidades se han llamado números naturales y han ejercido una poderosa fascinación sobre los seres humanos a lo largo de la historia. Uno de los heraldos de tal fascinación fue la tesis pitagórica, según la cual el propio cosmos, desde el movimiento de los planetas hasta la estructura de la música, responde a un arreglo numérico. Otro ejemplo es la producción de cuadrados "mágicos", como aquel famoso reproducido en un cuadro de Durero y que dan el mismo resultado si se suman cualquiera de sus columnas o renglones.

Probablemente en la base de esta fascinación se encuentre el múltiple y recóndito simbolismo de los números. Es así que la unidad, la dualidad, la trinidad, los puntos cardinales o los planetas visibles, han sido tomados como significados del 1, el 2, el 3, el 4 y el 7, respectivamente. En este marco y debido a que el número 9 es el último y el mayor de los dígitos se le han adjudicado significados de plenitud, culminación y término de ciclo en las más diversas culturas. En efecto, el símbolo de Ouróboros, la serpiente que se muerde la cola, se relaciona gráficamente con la reproducción y con el número nueve en varios alfabetos antiguos. Por similar razón, en la mitología griega encontramos que existen nueve musas, de las cuales la novena es la del conocimiento. Significativamente, la filosofia neoplatónica de Plotino fue vertida en la Eneida (los nueve libros) y llegó a ser un ingrediente importante en el misticismo judío, cristiano e islámico. Componentes de ese misticismo son la identificación de Beatriz y el número nueve en Dante (Vita nuova 30, pp. 26-27), la referencia de Roger Bacon a la novena casa del horóscopo como la de la divinidad y la sabiduría, o el antiguo enanegrama popularizado en nuestro siglo por George Gurdjieff y Peter Ouspensky.

Una propiedad fundamental del nueve fue enunciada por Avicena de la siguiente manera: "todo número, sea cual fuere, no es sino el número nueve o su múltiplo más un excedente, pues los signos de los números no tienen más que nueve caracteres." Debido a esta propiedad, es factible calcular el excedente o remanente de dividir entre nueve simplemente sumando los dígitos que forman cualquier número. Así, el número 836 se reduciría al 8 (8 + 3 + 6 = 17,1 + 7 = 8). En efecto, 836/9 = 92 y sobran 8. Por su parte, los múltiplos de 9 no tendrían remanente y la suma de sus dígitos es siempre igual a 9. Se puede producir un cuadrado "mágico" sustituyendo con sus excedentes a los números de una tabla pitagórica de multiplicar, como se ilustra a continuación:

El cuadrado resultante a la derecha, si eliminamos la columna y el renglón finales de los nueves, tiene propiedades curiosas que dan lugar a formas múltiples. Entre las propiedades podemos mencionar que contiene varios ejes de simetría, que la suma de sus columnas o hileras, reducida a un dígito, siempre da el número nueve, y que las figuras que trazan los diseños geométricos de unir números 1,2,3,4 y 5 son espejos de los números 8,7,6,5 y 4, respectivamente. Estos pares (1,8; 2,7; 3,6 y 4,5) son "complementarios" en el sentido de que suman nueve. Los diseños que resultan de la unión de los números son figuras geométricas que decoran buena parte del arte islámico. Además, el cuadrado recuerda un tablero de ajedrez donde los números 4 o 5 marcan los movimientos del caballo, los múltiplos del 3 los de la torre, los 2 y 7 a los alfiles. Notemos también que el número cabalístico 142857 puede definirse como una serie de complementarios situados cada tercera posición excluyendo los múltiplos de 3.

El escultor Juan Luis Díaz ha analizado este cuadrado extensamente y lo ha usado para recrear las formas que resultan de la unión de los dígitos, sean los mismos o diferentes. Además, si se piensa que la tabla es una de las caras de un cubo mágico, la unión de sus números interiores conforma estructuras geométricas tridimensionales que recuerdan a los cristales naturales. Díaz ha presentado una amplia exposición de estas estructuras en 1990 en París.

Ahora bien, además de estas estructuras, el residuo de nueve puede revelar otras muy distintas. Tomemos la serie de Fibonacci cuyos números, como hemos visto, se forman al sumar los dos anteriores de la manera 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 144... y que tienen una relación directa con la sección y la espiral "doradas", las cuales se han usado en el arte y encontrado en la naturaleza. Pues bien, si reducimos a un dígito la serie de Fibonacci nos encontramos con la siguiente serie de números: 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1,1,2...

A primera vista la serie podría parecer azarosa, pero nada más lejos de la realidad. Por ejemplo, la serie se repite cada 24 números, tiene un nueve en la doceava y la veinticuatroava posición, en tanto que cada cuarto dígito es múltiplo de tres. Después de cada nueve viene un dígito repetido, que es el complementario del que sigue al próximo nueve. De hecho, la serie se divide en dos series de 12 números en posiciones complementarias, y tomando al doceavo nueve como centro hacia los lados se alternan números idénticos y complementarios. Además de ésta, existen otras dos series de Fibonacci reducidas de secuencias diferentes, pero de propiedades idénticas. Veamos las tres superpuestas y comparemos las propiedades enunciadas:

1, l,2,3,5,8,4,3,7, 1,8,9,8,8,7,6,4,l,5,6,2,8,1,9

2,2,4,6, l,7,8,6,5,2,7,9,7,7,5,3,8,2,1,3,4,7,2,9

4,4,8,3,2,5,7,3,1,4,5,9,5,5,1,6,7,4,2,6,8,5,4,9

Las tres series tienen las propiedades antes descritas y son notoriamente armónicas, rítmicas y recurrentes. Es notable encontrar que los dígitos de todas las posiciones, exceptuando la cuarta, octava, doceava, etc., son miembros del numero mágico" 142857, cuyo remanente es, por cierto, el 9; y cómo lo son también los remanentes de todos los números primos, aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y entre uno. Alguna vez comprobé con dos amigos músicos —Tomás Kalmar y John Bailis— que si se les asignan notas musicales a los dígitos de las series y se toca la melodía resultante, ésta es particularmente agradable y recuerda a ciertas partituras barrocas.

El por qué las series recurren cada 24 o cada 12 posiciones tiene que ver con el propio mecanismo generador de la serie, es decir, con su genotipo: el hecho de que dos cifras seguidas que se suman para obtener la siguiente produzcan necesariamente una secuencia que da un ritmo cada cuatro posiciones y otro menos aparente cada tres. De todas estas cifras, 12 es el múltiplo común.

Ahora bien, así como las series de Fibonacci tienen equivalentes naturales o culturales, podría esperarse que estas series las tuvieran también. En efecto, la ciclicidad de las series recuerda de inmediato la división del día en un ciclo de 24 horas y dos de 12. Esta división aparentemente arbitraria del día es una herencia del sistema duodecimal que usaban babilonios y sumerios, como lo es también la afición de contar por gruesas, que son 12 docenas de objetos (144, el doceavo término de la serie = 1 + 4 + 4 = 9), la división del pie en 12 pulgadas y la creencia de que el número 13 es de mala suerte. El sistema duodecimal ha influido en el simbolismo de la cultura greco-mediterránea extensa y profundamente; algunas pruebas: son 12 los signos del zodiaco, son 12 las tribus de Israel, 12 los discípulos de Cristo y 12 los meses del año. En general se puede decir que el 12 tiene ventajas sobre el 10 como sistema de cálculo debido a sus múltiples divisores. Ahora podemos ver que tiene, además, otras propiedades secuenciales y reverberantes que son intrínsecas a las series numéricas de Fibonacci.

INTERSECCIONES

Se dice que hoy día es posible derivar la totalidad de las matemáticas conocidas de una sola fuente: la teoría de los conjuntos. Esto no es extraño, ya que la noción de conjunto es quizás más antigua y cognoscitivamente más elemental que la de número. Por ejemplo, supongamos que un grupo de humanos primitivos que no supieran contar más allá de lo quisieran elegir como líder al hombre que poseyera más cabras. Pasando los rebaños de los candidatos de par en par por una puerta podrían determinar cuál es el rebaño más numeroso sin necesidad de contar.

La correspondencia 1 a 1 entre dos colecciones o conjuntos de objetos fue precisamente el tema inicial de estudio de Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán de origen danés, que desembocó en la formulación inicial de la teoría de los conjuntos. Cantor definió a un conjunto como la colección en un todo de objetos distintos y definidos a nuestra percepción o pensamiento, objetos que se llaman elementos del conjunto. Los números naturales forman, así, un conjunto infinito; los números pares o los de Fibonnacci, subconjuntos del anterior. En caso de existir dos o más conjuntos se dice que la unión de ellos es el conjunto que contiene a todos los elementos de los originales y la intersección incluye a los elementos que son comunes a los originales. Estas nociones se representan usualmente con círculos, cada uno de los cuales constituye un conjunto.

Así, la intersección es el área de traslape entre dos o más círculos superpuestos. El diagrama más conocido consta de tres círculos y se puede generar si en cada vértice de un triángulo equilátero, tomado como centro, trazamos tres círculos que unan a los otros dos vértices. Se forman así ocho áreas, tres correspondientes a la zona exclusiva de cada círculo, tres a las intersecciones de dos círculos, la zona central que es la intersección de los tres y la totalidad o unión de todos. Esta misma figura se conoce en geometría como triángulo de Rouleaux.

El diagrama de tres círculos superpuestos manifiesta de una manera inmediata e intuitiva las propiedades fundamentales de los conjuntos; constituye, además, un antiguo símbolo con múltiples significados y usos. El diagrama fue popularizado por John Venn, un lógico inglés, para reducir la lógica y la teoría de los conjuntos al cálculo simbólico puro. Venn utilizó el diagrama para identificar los silogismos fundamentales que se usan en la lógica. La extensión de cada uno de los tres términos del silogismo se representa por uno de los círculos, de tal manera que las áreas de intersección pueden resultar claramente eliminadas por identidad lógica y cada una de las formas silogísticas tiene un diagrama peculiar. Al llevar esta ruta más lejos se ha propuesto que la semántica se puede definir como una rama de la teoría de los conjuntos que se aboca a la naturaleza y las relaciones de los agregados del lenguaje, en tanto que la sintaxis sería una rama de la teoría de los números.

Figura 9. Triángulo de Rouleaux o diagrama de Venn.

Independientemente de estos esfuerzos parece interesante constatar que se ha usado el triángulo de Rouleaux o el diagrama de Venn en la teoría de los colores. Así, si cada uno de los tres círculos se llena de luz verde, roja y azul obtenemos la mezcla aditiva de tal manera que la intersección del verde y el rojo es de color amarillo, la mezcla del rojo y azul es magenta, y la de azul y verde es cian. Desde luego, la intersección central de los tres colores es blanca. Esto sucede cuando se mezclan las luces de los tres colores, en tanto que la mezcla de pigmentos produce mezclas que se llaman sustractivas, ya que involucran la absorción de la luz que incide sobre los pigmentos y la transmisión de su resta al ojo.

Toda la gama de colores que percibimos se puede obtener por la mezcla de los tres fundamentales, un hecho establecido por primera vez por el fisiólogo Hermann von Helmholtz en 1850. La base biológica de esto se encuentra en el dato de que nuestra retina tiene tres tipos de células receptoras a la luz que son óptimamente sensibles a longitudes de onda de 445 nanómetros, correspondiente al azul, 535 que equivalen al verde y 565 al rojo. Es decir, se puede concebir la visión en color con la idea de tres conjuntos de receptores que son estimulados en diferente grado por la luz. El mismo principio, desde luego, ha sido aplicado para el desarrollo de la televisión a color.

Podría proponerse que el diagrama de Venn subyace también en muchas operaciones metodológicas y cognoscitivas que realizan los científicos y los eruditos. Por ejemplo, uno de los criterios de veracidad en la ciencia de la historia consiste en la comparación de las fuentes en busca de intersecciones. Cuando se detecta información similar en varias fuentes históricas se considera que los hechos tienen mayor probabilidad de haber ocurrido. En el mismo sentido se han generado algunas ideas sobre mecanismos psicológicos o posiciones filosóficas. Por ejemplo, la coincidencia —o si se quiere, la intersección— de temas comunes o aun idénticos en mitologías antiguas y que puede interpretarse como el resultado de comunicación entre las culturas se toma, más parsimoniosamente, y con base en la teoría de los conjuntos, como la manifestación de propiedades inconscientes comunes a la mente humana, como podrían ser, por ejemplo, los arquetipos de Jung. En un sentido afín, el notable pensador y novelista Aldous Huxley escribió un ensayo profusamente documentado del pensamiento místico en múltiples personalidades de culturas separadas ampliamente en el espacio y el tiempo en busca precisamente de los elementos comunes a los que, una vez identificados, denominó La filosofía perenne.

Muchos diagramas simbólicos, como el mandala, se antojan cristalizaciones de capacidades y operaciones cognitivas cinceladas en nuestra biología. De esta forma, no es sorprendente comprobar que el diagrama de Venn es un símbolo que ha aparecido repetidamente en el pasado. Por ejemplo, lo he encontrado en un escudo de armas medieval que se exhibe en el Museo de Artes Regionales de la antigua ciudad de Lugo, España. Al indagar sobre el posible significado del dibujo me topé, en el Diccionario de los símbolos de Chevalier y Gheerbrandt, con un diagrama usado en el siglo XII como símbolo de la Trinidad en una miniatura que se conserva en la catedral de Chartres. Cada uno de los círculos representa allí a una de las tres personas de la Trinidad, en tanto que la intersección está ocupada por la palabra "unidad". Evidentemente, nuestro diagrama ayudó a los teólogos medievales a entender el dogma contradictorio de "tres personas distintas y un solo Dios verdadero".

En la historia del conocimiento recurren las mismas metáforas. Agreguemos una más: ciencia, arte y sabiduría pueden concebirse como conjuntos que se intersectan. La unión de éstos es el conocimiento en su sentido más general, en tanto que su intersección —la unidad de los tres tipos de conocimiento— correspondería a la filosofía.

LA MATEMÁTICA MUSICAL

A juzgar por la convergencia de la ciencia y el arte en la matemática musical, el sueño de una síntesis de la ciencia y las artes parece empezar a hacerse realidad. Entre los antecedentes de esta interdisciplina cabe recordar que en el siglo pasado el físico alemán Ernst Chladni (1756-1827) encontró que la aplicación de un arco de violín a un plato de vidrio espolvoreado con arena produce una vibración que reacomoda la arena en formas simétricas y espectaculares que deslumbraron a Napoleón. Chladni calculó la velocidad del sonido en diferentes gases y con esos datos construyó un instrumento musical, el eufonio, que debería figurar como un antecedente en el juego de los abalorios. En 1967 Hans Jenny desarrolló la técnica de Chladni para visualizar notas musicales: una lámina de metal colocada horizontalmente y espolvoreada uniformemente con arena. En el centro de la cara inferior de la lámina se aplica una vibración física determinada por una nota musical específica. La vibración de la lámina se traduce en un arreglo de la arena en bellas formas concéntricas susceptibles de un análisis matemático que sintetizan las propiedades visuales y geométricas de las notas musicales.

En el momento actual la computadora se ha constituido en un instrumento tanto analítico como interpretativo y creativo en el ámbito de la matemática musical. He aquí algunos ejemplos reunidos en el semanario de publicaciones científicas Current Contents del 4 de noviembre de 1991. Es posible que el análisis matemático de la música permita la producción de obras similares a las composiciones clásicas. En efecto, Kenneth J. Hsu, un profesor de geología del Instituto Federal de Tecnología en Zurich y su hijo Andrew han propuesto que la matematización de las obras de Bach en forma de matrices puede conducir a nuevas construcciones musicales indistinguibles de las obras conocidas de Bach. Mediante el uso de un instrumento electrónico llamado caja fractal de música, los Hsu reducen una composición a su forma fundamental usando la teoría de los fractales. Se produce así una suerte de resumen de los temas que puede ser utilizado para concebir temas similares. Los Hsu encontraron en la música de Bach y de Mozart que los intervalos de frecuencia o los cambios de frecuencia acústica tienen una geometría fractal.

Para entender las propiedades fractales de la música conviene empezar diciendo que la música es un sonido estocástico, es decir, una secuencia de notas que no es totalmente azarosa, lo cual sería ruido, ni totalmente monótona, lo cual sería aburrido. La música que nos interesa tiene una estructura melódica suficientemente previsible para resultar placentera, de tal manera que muchas veces podemos adivinar el desarrollo de una melodía antes de haberla escuchado, sólo por la estructura de la parte que ya oímos. Pero también nos interesa que, dentro del contexto de la estructura previsible, surja una novedad afín a ella, lo cual renueva nuestra atención y estimula el interés.

La geometría fractal se adapta a la naturaleza de manera mucho más precisa que la geometría euclidiana clásica. Es así que las nubes no son esferas, que las costas no son círculos o que los relámpagos no son líneas. Sin embargo, ninguno de ellos es amorfo; su forma es mas compleja y puede ser descrita mejor con esta nueva geometría. De acuerdo con el diáfano ejemplo de Benoit Mandelbrot, el fundador de la teoría de los fractales, si medimos la longitud de un terreno con una vara obtenemos un resultado de X número de varas. Si repetimos el procedimiento con varas cada vez más cortas, el número de varas será cada vez mayor y, en el caso de terrenos teóricamente planos y lisos, el número de varas pequeñas siempre será múltiplo de las varas mayores. Ahora bien, si el terreno es accidentado, el número de varas chicas excederá al de las grandes en proporción mayor a su diferencia de tamaño, porque aquéllas medirán más detalles del terreno que éstas. La relación matemática entre estos números, que suele tener constancias en las formas naturales, es el campo de la geometría de los fractales. Es en este sentido que los Hsu encontraron que las frecuencias y tiempos de la música de Bach y de Mozart se ajustan a la teoría.

Ahora bien, pensemos que la ejecución de una obra musical se compone de dos partes: una partitura, que es una secuencia predeterminada de notas fijada por el compositor, y los factores expresivos, como el tempo o las sutiles modificaciones en duración y volumen que controla el ejecutante o el director. Son precisamente estos últimos la parte fundamental del entrenamiento musical, ya que el aprendizaje del lenguaje musical de las partituras es mucho más fácil que las horas interminables de penitencia que constituyen los tediosos ejercicios a los que debe someterse el futuro concertista para desarrollar el virtuosismo necesario para ejecutar la obra de una manera precisa y creativa. Hasta hace poco, con los sintetizadores y las computadoras era posible solamente imitar la partitura pero no los factores expresivos.

Pues bien, Max Mathews, del Departamento de Música de la Universidad de Stanford, ha descrito un sistema de cómputo que le da a la persona control creativo sobre la ejecución sin necesidad de perfeccionar su técnica. El sistema es lo suficientemente adecuado como para producir música de calidad igual a la de un ejecutante entrenado, al menos para los oídos no educados.

Estos descubrimientos implican que el factor más sutil de la producción conductual que se manifiesta en la música, es decir, la cualidad, es factible de ser analizado y reproducido. En efecto, Manfred Clynes, músico y neurocientífico, ha afirmado que las emociones expresadas en la música tienen forma y que se puede analizar esa forma con una máquina relativamente simple inventada por él que mide las presiones de los dedos en la ejecución de un instrumento. Esto es muy interesante ya que es bien sabido que, a excepción del entrenamiento de la voz, la mayoría de los instrumentos musicales se tocan mediante el aprendizaje de una serie de patrones fundamentales de disposiciones de los dedos llamados digitaciones y que la emoción de la ejecución (el factor expresivo) se trasmite mediante sutiles diferencias en la vibración, la presión y la duración de las digitaciones. Manfred Clynes descubrió algunos parámetros matemáticos de esos pulsos y con ellos programó una computadora para manipular frases, amplitudes y pausas, con lo cual ha empezado a producir expresiones musicales emocionales en la máquina.

El problema remanente de este enfoque es que reduce la expresión musical a la digitación, cuando los ejecutantes avanzados saben que hay un elemento holista en el movimiento que expresa el ejecutante. Dice Yehudi Menuhin:

la mera colocación del dedo, incluyendo el vibrato, cambios de posición y el glissando son todos aspectos del mismo movimiento básico. Todo el cuerpo debe estar involucrado sin ofrecer resistencia en parte alguna, sólo soporte. El objeto del entrenamiento está en el continuo estado de balance, en el equilibrio de todas las partes.

En cualquier caso el avance de la matemática musical es espectacular y la computadora se acerca al juego de los abalorios de Hermann Hesse.

LECTURAS

Alem, J.-P. (1988), Juegos de ingenio y entretenimiento matemático, Gedisa, Barcelona.

Dalmedico, A. D. (1991), "Sophie Germain", Scientific American 265 (6), pp. 76-81.

Chevalier, J., Gheerbrandt, A. (1988), Diccionario de los símbolos, Herder, Barcelona.

Gardner, M. (1987), Los mágicos números del doctor Matrix, Gedisa, Barcelona.

Mandelbrot, B. (1990), "Montañas y dragones fractales: la intuición en la matemática y en las ciencias", en: Sobre la imaginación científica (Wagensberg, J., comp.) Tusquets, Barcelona.

National Council of Teachers of Mathematics (1987), El sistema de los números racionales, Trillas, México.

Rainwater, C. (1971), Light and Color, Golden Science Guide, Nueva York.

Schimmel, A. (1993), The Mystery of Numbers, Oxford University Press, Nueva York.

Tymoczko, T. (1991), "Mathematics, Science and Ontology", Synthese 88, pp. 201-228.

En línea el texto completo en:

http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/152/htm/elabaco.htm