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jueves, 29 de enero de 2009

NÚMERO Y NATURALEZA: LA DANZA DE PITÁGORAS

FRAGMENTO DEL LIBRO DE JOSÉ LUIS DÍAZ: El ábaco la lira y la rosa. Las regiones del conocimiento. (Capítulo VII)

LA SUSTANCIA DEL NÚMERO

A PESAR de ser el lenguaje universal de la ciencia y el objetivo final de múltiples teorías científicas, el status de la matemática en tanto disciplina del saber humano es notoriamente borroso. ¿Qué es, específicamente, la matemática? Thomas Tymoczko del Smith College nos lleva a un tour por los extraños bucles de esta cuestión. Para empezar veamos algunas respuestas curiosas.

Para Friederich Ludwig Frege (1848-1925), el fundador de la lógica matemática y de la teoría del significado modernas, la matemática es un tipo de metafísica, la ciencia más general de la realidad que incesantemente busca "las leyes de las leyes naturales". En este mismo sentido podemos afirmar hoy en día que en efecto las matemáticas forman una especie de andamiaje metafísico del edificio científico. Por su parte, Rudolf Carnap (1891-1970), el destacado filósofo del Círculo de Viena y del positivismo lógico, consideraba las matemáticas como un tipo de lenguaje que busca las consecuencias analíticas de ciertas convenciones lingüísticas. Ciertamente, la matemática es un tipo de lenguaje, el más abstracto de ellos, con el que se expresan cierto tipo de relaciones mediante signos convencionales. Sin embargo se antoja que es algo más que un lenguaje, o bien, que si aceptamos que es un lenguaje, no se nos aclara con ello más que su léxico. Poco podemos decir de cuál es el significado de los signos y las operaciones. Para otro de los matemáticos más formidables del siglo, Kurt Godel (1906-1978), el mismo que demostrara con el famoso teorema de la incompletud la imposibilidad de probar o falsificar las proposiciones matemáticas a partir de sus axiomas fundamentales, la matemática es un tipo de psicología introspectiva que informa de ciertas construcciones del pensamiento o la imaginación, o mejor aún, un tipo de geografía interior que busca precisar ciertos mapas del paisaje mental. Por más que nos pueda sorprender esta declaración, no podemos dejar de reconocer que las leyes matemáticas emanan de operaciones cognitivas necesariamente restringidas o moduladas por el aparato mental. Este mismo tipo de pensamiento late en el fondo de la filosofía racionalista que supone que el Conocimiento surge de la propia mente más que de los objetos del mundo. No en vano varios de los mayores filósofos racionalistas como Descartes o Leibniz fueron matemáticos.

Ahora bien, en el lado opuesto nos encontramos al empirista John Stuart Mill (1806-1873), para quien la matemática es una ciencia natural, de hecho la ciencia más inductiva que existe. Para los empiristas primero son los objetos, digamos los dedos, y de su percepción se derivan los conocimientos, digamos los números y sus operaciones. Es curioso que esta idea, que se nos antoja del mayor sentido común, sea la que menos aceptación tenga en los círculos matemáticos y de filosofía de la ciencia y haya sido refutada de manera contundente por Frege. El argumento que plantea es de una diáfana brillantez. Dice que si la matemática es empírica, entonces debe estudiar objetos reales, incluidos los procesos y los eventos. Por lo tanto, los objetos que estudia la matemática serían reales y no imaginarios o abstractos. En este punto el empirista se ve obligado a admitir aquello de lo que abjura: el número, la función, el logaritmo o la integral serían reales y no abstractos; de hecho, tan reales como las manzanas y los átomos. Pero como no hay números puros observables en el mundo habría que pensar en ellos como arquetipos de Platón, es decir, como objetos existentes en realidad, aunque en un plano ideal o trascendental donde fungen como templetes o modelos.

El asunto es tan anudado que algún pensador ha dicho que los matemáticos pueden disfrutar de los beneficios del platonismo sin tomar las responsabilidades. En otras palabras, los matemáticos pueden hablar como si sus entidades abstractas existieran, ¡pero sin realmente creer en ellas! La matemática sería así una especie de mitología, en la que usamos los mitos para entender ciertas realidades, explicar ciertos fenómenos o fundamentar los valores éticos, pero no creemos que Zeus o Edipo existan "en realidad". Sin embargo esto no explica por qué todos estamos de acuerdo en las pruebas matemáticas ni por qué no tenemos la misma actitud de referirnos a los átomos o las manzanas como si existieran pero sin realmente creerlo.

William Quine (nacido en 1908), el famoso lógico de Harvard y uno de los padres de la llamada filosofía analítica, argumentó que la matemática es un universo continuo y no separado del de la ciencia y que ambas eran necesarias para justificar nuestra experiencia. El número y el átomo son postulados cuya existencia se justifica plenamente por el papel que desempeñan en explicarnos las cosas. Según esto, las matemáticas no son completamente empíricas, o sea, que no están totalmente ancladas a la realidad, pero tampoco son pura geografía mental, sino que flotan en el limbo entre ambos mundos. Resumiendo: son casi empíricas."

Pongámoslo en términos del matemático inglés Roger Penrose: ¿son las matemáticas invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos llegan a resultados en sus cálculos, ¿producen sólo construcciones mentales o encuentran, como se supone que hace la ciencia, realidades que estaban ahí listas para ser descubiertas? Es de notarse que si aceptamos la segunda opción, como lo hace Penrose sin ambages, de nuevo le estamos otorgando al número un status de realidad concreta en el sentido del arquetipo platónico.

En este momento debe hacer su entrada al espectáculo la computadora. Después de todo la computadora no es una persona, aunque hay quien argumenta lo contrario. En cualquier caso la computadora no tiene mente en el sentido humano del término y es, además, un aditamento tecnológico como el ábaco o el microscopio, pero un aditamento que habla (o mejor dicho que opera) con lenguaje matemático. En ese caso podemos hacer una pregunta determinante: además de hacer operaciones matemáticas, ¿puede la computadora probar o producir un teorema? La respuesta es afirmativa. La computadora puede probar teoremas, incluso complejos, pero la manera como lo hace no se parece a la forma, por ejemplo, como se prueba el teorema de Pitágoras, sino que se parece más a un experimento científico cuyo resultado puede obtenerse si se reproducen ciertas condiciones. Conclusión: la computadora tampoco nos demuestra que la matemática sea netamente racional o empírica. Nos quedamos con la nebulosa solución de Quine.

El punto fundamental que Tymoczko quiere demostrar es que los objetos abstractos existen y que pueden ser analizados científicamente. Más aún, que los objetos del mundo son también abstractos. Recordemos que la diferencia entre lo concreto y lo abstracto es que lo primero ocurre en el espacio y el tiempo y lo último supuestamente no. Con los objetos concretos —pelotas, bosques, nubes, átomos o manzanas— podemos interactuar, con los abstractos —números, pensamientos, creencias— no. Ahora bien, si consideramos que todos los objetos son abstractos, nos vemos en la necesidad de aceptar que sólo existe la mente o de que es lo único de lo que podemos estar seguros. De esto, que es idealismo puro, reniega la ciencia, aunque no faltará algún neurocientífico astuto que diga que, en efecto, la realidad es fabricada no precisamente por la mente sino por el cerebro, lo que viene a ser lo mismo. Todo lo que percibimos, pensamos, inferimos, incluido el lenguaje común y el matemático, es producto de la función cerebral o la función misma. Sin embargo, si queremos ser insidiosos, podremos agregar que también el cerebro es un objeto más de ese mundo de la mente.

En fin, quizás se pueda considerar al materialismo y al idealismo (o a sus parientes, el empirismo y el racionalismo) como puntos de vista complementarios, o que los objetos son a la vez concretos (es decir, que existen fuera de un observador) y abstractos (que su representación mental es una construcción). Pero dentro de esta conciliadora solución, ¿dónde quedó el número?

NÚMERO, ARTE Y NATURALEZA: UNA RELACIÓN EN SERIE

Bajo los tediosos cálculos y manipulaciones de las matemáticas yace un mundo de formas y pautas. Podemos comprobar esto en algunas secuencias de números. Una de las secuencias más llamativas es la serie que presentó Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci (c. 1170-1250), al introducir el álgebra en Italia después de haber estudiado en el norte de África con un matemático árabe. En su libro Liber abaci (1202) presentó los números indo-arábigos que se empezaban a conocer en Europa por la traducción al latín de Al-Kwarizimi y con los cuales Fibonacci afirmaba, acertadamente, que cualquier número podía escribirse. En ese libro Fibonacci introdujo la secuencia que lleva su nombre.

Significativamente, la serie se originó al resolver un problema biológico supuesto: ¿Cuántos pares de conejos se pueden producir a partir de un solo par, si cada par produce un nuevo par cada mes, sólo los conejos de más de un mes de edad pueden reproducirse y ninguno se muere? Analicemos el problema: al principio hay un par de conejos, al mes sigue habiendo el mismo par, pero al segundo mes hay dos pares. Una de esas parejas puede reproducirse, pero la otra no, de tal forma que al tercer mes hay tres parejas. Dos de ellas se reproducen y a los cuatro meses hay cinco pares de conejos. Comprobemos cómo va la secuencia de parejas: 1,1,2,3,5. Al analizar la serie nos damos cuenta de que no hay que continuar el cálculo razonado porque la sucesión tiene una pauta numérica recursiva: cada término o cifra de la misma es el resultado de sumar los dos términos precedentes. A partir de entonces la secuencia 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... se llama serie de Fibonacci. El matemático francés E. A. Lucas introdujo, a fin del siglo pasado, la secuencia 2,1,3,4,7,11, 18... y otras similares que han recibido su nombre.

Los números de Fibonacci y de Lucas son ejemplos perfectos de sucesiones recurrentes o conjuntos recursivos: aquellos que, a partir de dos elementos y gracias a una regla recursiva, echan a rodar una bola de nieve formada por un conjunto infinito de numeros. Este tipo de programas son inductivos y característicos del pensamiento lógico. Douglas Hofstadter considera al par inicial (1, 1 para la serie de Fibonacci y 2,1 para la de Lucas) como el genotipo del cual surge el fenotipo, que es toda la secuencia, una ingeniosa analogía del proceso mediante el cual un conjunto de genes (genotipo) origina una característica física o conductual de los seres vivos (fenotipo). Pero la metáfora en este caso va más allá de la mera analogía.

Aparte de múltiples y curiosas propiedades intrínsecas, las series de Fibonacci tienen una notable relación con formas artificiales y naturales. Robert Simpson de la Universidad de Glasgow notó ya en 1753 que en tanto los números de la serie aumentaban en magnitud, la relación entre dos términos subsecuentes, es decir, la división del número siguiente entre el anterior, se aproximaba a F (phi), la sección dorada o el número de oro de los antiguos y cuyo valor es 1.6180. Esta misma cifra se había obtenido originalmente al dividir un segmento cualquiera en dos porciones desiguales tales que la porción menor fuera a la mayor como ésta a todo el segmento. La relación entre los dos segmentos es la sección áurea, que se encuentra frecuentemente en la geometría.

Así, el lado de un decágono regular es igual a la longitud del segmento más largo de su radio dividido en la sección dorada y el lado de un pentágono regular tiene la proporción dorada respecto a la diagonal. Ciertamente la estrella de cinco puntas que se dibuja en el interior del pentágono figura en los rosetones de las catedrales góticas y fue uno de los símbolos de la deidad. Además, en un rectángulo "dorado" los lados tienen una relación cercana a phi, es decir, una proporción de 5: 3, de 8: 5, de 13:8, etc. Los números son, desde luego, vecinos en la serie de Fibonacci. Este rectángulo tiene las proporciones más agradables a la percepción, por lo que suele usarse para definir el tamaño de libros o cajas, además de tener interesantes propiedades.

Por ejemplo, si al rectángulo dorado ABCD se le quita un cuadrado perfecto ABEF, el rectángulo remanente es también un rectángulo dorado al que se puede quitar un cuadrado, y así sucesivamente. Si trazamos los arcos circulares se forma una espiral logarítmica que se encuentra en la naturaleza y que fuera analizada geométricamente por Descartes como la curva de vectores radiales que se traza de un punto fijo (el centro de la espiral) bajo un ángulo constante de 137.5.

Toda una estética pitagórica se funda en el número de oro. Tuvo una gran influencia sobre Leonardo da Vinci y Durero en sus empeños para cuantificar y encontrar bases matemáticas de diseños plásticos y arquitectónicos. El rectángulo dorado fue usado por el pintor impresionista George Seurat en múltiples cuadros, como La Parade (1888) y afirmó al respecto en una carta: "¿ven poesía en mi trabajo?. No: yo aplico mi método, eso es todo." La proporción áurea fue usada también por el eminente arquitecto de origen suizo Le Corbusier (1887-1965) en su teoría del modulador, la unidad arquitectónica para obtener dimensiones armónicas y que estableció como una proporción dorada de la estatura humana.

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Figura 8. El rectángulo dorado.

Una correspondencia aún más notable es el hecho de que los números de la serie de Fibonacci y la espiral logarítmica ocurran frecuentemente en la naturaleza. El ejemplo más notorio es la filotaxia espiral de ciertas plantas y se refiere a la ordenación de sus hojas de manera helicoidal como consecuencia del desarrollo de las hojas que brotan una a una y crecen donde el espacio disponible entre ellas es mayor. La filotaxia se representa por una fracción en la cual el numerador es el número de vueltas alrededor del tallo y el denominador el número de hojas, ramas o espinas en ese recorrido. En todos los casos estos números son términos de las serie de Fibonacci. Además, el número de pétalos en las flores suele ser miembro de la serie: lila (3), ranúnculo (5), espuela (8), caléndula (13), aster (21) y varios tipos de margaritas (34, 55, 89). La espiral logarítmica se encuentra, además de las espirales de la filotaxia, en las conchas de los caracoles o los retorcidos cuernos de animales. Pero no sólo en las formas de los seres vivos se han hallado series de Fibonacci: los astrónomos se han percatado de que los eclipses tienen pautas de repetición cada 6, 41, 47, 88,135, 223 y 358 años, secuencia que corresponde a una serie de Lucas.

A pesar de que están muy bien establecidas las razones por las que ocurre la serie numérica, la proporción áurea en arte y la filotaxia, sigue siendo un misterio la razón de su inquietante coincidencia. El poeta simbolista Paul Valéry (1871-1945) veía en esto la razón de un dinamismo que representa el equilibrio entre el saber, el sentir y el poder. No en vano Valéry era uno de esos raros espíritus que se encontraba como en su casa entre conocimientos filosóficos, matemáticos, arquitectónicos o literarios de manera tal que, por ejemplo, estaba versado en el trabajo de los mayores físicos de su tiempo, como De Broglie, Einstein o Maxwell.

Como colofón agregaré que, en forma por demás sugerente, Ghyka (citado en el Diccionario de los símbolos de Chevalier y Gheerbrant) consideraba la sección áurea el "símbolo abreviado de la forma viva, de la pulsión, del crecimiento".

LA GEOMETRÍA DEL OURÓBOROS

He mencionado que los números que llamamos arábigos se empezaron a usar en Europa después de la obra de Fibonacci en el siglo XIII, varios siglos después de que fueran introducidos al mundo islámico por Al-Kwarizimi quien, a su vez, los tomó de la India. Estos diez dígitos singulares que corresponden a las unidades se han llamado números naturales y han ejercido una poderosa fascinación sobre los seres humanos a lo largo de la historia. Uno de los heraldos de tal fascinación fue la tesis pitagórica, según la cual el propio cosmos, desde el movimiento de los planetas hasta la estructura de la música, responde a un arreglo numérico. Otro ejemplo es la producción de cuadrados "mágicos", como aquel famoso reproducido en un cuadro de Durero y que dan el mismo resultado si se suman cualquiera de sus columnas o renglones.

Probablemente en la base de esta fascinación se encuentre el múltiple y recóndito simbolismo de los números. Es así que la unidad, la dualidad, la trinidad, los puntos cardinales o los planetas visibles, han sido tomados como significados del 1, el 2, el 3, el 4 y el 7, respectivamente. En este marco y debido a que el número 9 es el último y el mayor de los dígitos se le han adjudicado significados de plenitud, culminación y término de ciclo en las más diversas culturas. En efecto, el símbolo de Ouróboros, la serpiente que se muerde la cola, se relaciona gráficamente con la reproducción y con el número nueve en varios alfabetos antiguos. Por similar razón, en la mitología griega encontramos que existen nueve musas, de las cuales la novena es la del conocimiento. Significativamente, la filosofia neoplatónica de Plotino fue vertida en la Eneida (los nueve libros) y llegó a ser un ingrediente importante en el misticismo judío, cristiano e islámico. Componentes de ese misticismo son la identificación de Beatriz y el número nueve en Dante (Vita nuova 30, pp. 26-27), la referencia de Roger Bacon a la novena casa del horóscopo como la de la divinidad y la sabiduría, o el antiguo enanegrama popularizado en nuestro siglo por George Gurdjieff y Peter Ouspensky.

Una propiedad fundamental del nueve fue enunciada por Avicena de la siguiente manera: "todo número, sea cual fuere, no es sino el número nueve o su múltiplo más un excedente, pues los signos de los números no tienen más que nueve caracteres." Debido a esta propiedad, es factible calcular el excedente o remanente de dividir entre nueve simplemente sumando los dígitos que forman cualquier número. Así, el número 836 se reduciría al 8 (8 + 3 + 6 = 17,1 + 7 = 8). En efecto, 836/9 = 92 y sobran 8. Por su parte, los múltiplos de 9 no tendrían remanente y la suma de sus dígitos es siempre igual a 9. Se puede producir un cuadrado "mágico" sustituyendo con sus excedentes a los números de una tabla pitagórica de multiplicar, como se ilustra a continuación:

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El cuadrado resultante a la derecha, si eliminamos la columna y el renglón finales de los nueves, tiene propiedades curiosas que dan lugar a formas múltiples. Entre las propiedades podemos mencionar que contiene varios ejes de simetría, que la suma de sus columnas o hileras, reducida a un dígito, siempre da el número nueve, y que las figuras que trazan los diseños geométricos de unir números 1,2,3,4 y 5 son espejos de los números 8,7,6,5 y 4, respectivamente. Estos pares (1,8; 2,7; 3,6 y 4,5) son "complementarios" en el sentido de que suman nueve. Los diseños que resultan de la unión de los números son figuras geométricas que decoran buena parte del arte islámico. Además, el cuadrado recuerda un tablero de ajedrez donde los números 4 o 5 marcan los movimientos del caballo, los múltiplos del 3 los de la torre, los 2 y 7 a los alfiles. Notemos también que el número cabalístico 142857 puede definirse como una serie de complementarios situados cada tercera posición excluyendo los múltiplos de 3.

El escultor Juan Luis Díaz ha analizado este cuadrado extensamente y lo ha usado para recrear las formas que resultan de la unión de los dígitos, sean los mismos o diferentes. Además, si se piensa que la tabla es una de las caras de un cubo mágico, la unión de sus números interiores conforma estructuras geométricas tridimensionales que recuerdan a los cristales naturales. Díaz ha presentado una amplia exposición de estas estructuras en 1990 en París.

Ahora bien, además de estas estructuras, el residuo de nueve puede revelar otras muy distintas. Tomemos la serie de Fibonacci cuyos números, como hemos visto, se forman al sumar los dos anteriores de la manera 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 144... y que tienen una relación directa con la sección y la espiral "doradas", las cuales se han usado en el arte y encontrado en la naturaleza. Pues bien, si reducimos a un dígito la serie de Fibonacci nos encontramos con la siguiente serie de números: 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1,1,2...

A primera vista la serie podría parecer azarosa, pero nada más lejos de la realidad. Por ejemplo, la serie se repite cada 24 números, tiene un nueve en la doceava y la veinticuatroava posición, en tanto que cada cuarto dígito es múltiplo de tres. Después de cada nueve viene un dígito repetido, que es el complementario del que sigue al próximo nueve. De hecho, la serie se divide en dos series de 12 números en posiciones complementarias, y tomando al doceavo nueve como centro hacia los lados se alternan números idénticos y complementarios. Además de ésta, existen otras dos series de Fibonacci reducidas de secuencias diferentes, pero de propiedades idénticas. Veamos las tres superpuestas y comparemos las propiedades enunciadas:

1, l,2,3,5,8,4,3,7, 1,8,9,8,8,7,6,4,l,5,6,2,8,1,9

2,2,4,6, l,7,8,6,5,2,7,9,7,7,5,3,8,2,1,3,4,7,2,9

4,4,8,3,2,5,7,3,1,4,5,9,5,5,1,6,7,4,2,6,8,5,4,9

Las tres series tienen las propiedades antes descritas y son notoriamente armónicas, rítmicas y recurrentes. Es notable encontrar que los dígitos de todas las posiciones, exceptuando la cuarta, octava, doceava, etc., son miembros del numero mágico" 142857, cuyo remanente es, por cierto, el 9; y cómo lo son también los remanentes de todos los números primos, aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y entre uno. Alguna vez comprobé con dos amigos músicos —Tomás Kalmar y John Bailis— que si se les asignan notas musicales a los dígitos de las series y se toca la melodía resultante, ésta es particularmente agradable y recuerda a ciertas partituras barrocas.

El por qué las series recurren cada 24 o cada 12 posiciones tiene que ver con el propio mecanismo generador de la serie, es decir, con su genotipo: el hecho de que dos cifras seguidas que se suman para obtener la siguiente produzcan necesariamente una secuencia que da un ritmo cada cuatro posiciones y otro menos aparente cada tres. De todas estas cifras, 12 es el múltiplo común.

Ahora bien, así como las series de Fibonacci tienen equivalentes naturales o culturales, podría esperarse que estas series las tuvieran también. En efecto, la ciclicidad de las series recuerda de inmediato la división del día en un ciclo de 24 horas y dos de 12. Esta división aparentemente arbitraria del día es una herencia del sistema duodecimal que usaban babilonios y sumerios, como lo es también la afición de contar por gruesas, que son 12 docenas de objetos (144, el doceavo término de la serie = 1 + 4 + 4 = 9), la división del pie en 12 pulgadas y la creencia de que el número 13 es de mala suerte. El sistema duodecimal ha influido en el simbolismo de la cultura greco-mediterránea extensa y profundamente; algunas pruebas: son 12 los signos del zodiaco, son 12 las tribus de Israel, 12 los discípulos de Cristo y 12 los meses del año. En general se puede decir que el 12 tiene ventajas sobre el 10 como sistema de cálculo debido a sus múltiples divisores. Ahora podemos ver que tiene, además, otras propiedades secuenciales y reverberantes que son intrínsecas a las series numéricas de Fibonacci.

INTERSECCIONES

Se dice que hoy día es posible derivar la totalidad de las matemáticas conocidas de una sola fuente: la teoría de los conjuntos. Esto no es extraño, ya que la noción de conjunto es quizás más antigua y cognoscitivamente más elemental que la de número. Por ejemplo, supongamos que un grupo de humanos primitivos que no supieran contar más allá de lo quisieran elegir como líder al hombre que poseyera más cabras. Pasando los rebaños de los candidatos de par en par por una puerta podrían determinar cuál es el rebaño más numeroso sin necesidad de contar.

La correspondencia 1 a 1 entre dos colecciones o conjuntos de objetos fue precisamente el tema inicial de estudio de Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán de origen danés, que desembocó en la formulación inicial de la teoría de los conjuntos. Cantor definió a un conjunto como la colección en un todo de objetos distintos y definidos a nuestra percepción o pensamiento, objetos que se llaman elementos del conjunto. Los números naturales forman, así, un conjunto infinito; los números pares o los de Fibonnacci, subconjuntos del anterior. En caso de existir dos o más conjuntos se dice que la unión de ellos es el conjunto que contiene a todos los elementos de los originales y la intersección incluye a los elementos que son comunes a los originales. Estas nociones se representan usualmente con círculos, cada uno de los cuales constituye un conjunto.

Así, la intersección es el área de traslape entre dos o más círculos superpuestos. El diagrama más conocido consta de tres círculos y se puede generar si en cada vértice de un triángulo equilátero, tomado como centro, trazamos tres círculos que unan a los otros dos vértices. Se forman así ocho áreas, tres correspondientes a la zona exclusiva de cada círculo, tres a las intersecciones de dos círculos, la zona central que es la intersección de los tres y la totalidad o unión de todos. Esta misma figura se conoce en geometría como triángulo de Rouleaux.

El diagrama de tres círculos superpuestos manifiesta de una manera inmediata e intuitiva las propiedades fundamentales de los conjuntos; constituye, además, un antiguo símbolo con múltiples significados y usos. El diagrama fue popularizado por John Venn, un lógico inglés, para reducir la lógica y la teoría de los conjuntos al cálculo simbólico puro. Venn utilizó el diagrama para identificar los silogismos fundamentales que se usan en la lógica. La extensión de cada uno de los tres términos del silogismo se representa por uno de los círculos, de tal manera que las áreas de intersección pueden resultar claramente eliminadas por identidad lógica y cada una de las formas silogísticas tiene un diagrama peculiar. Al llevar esta ruta más lejos se ha propuesto que la semántica se puede definir como una rama de la teoría de los conjuntos que se aboca a la naturaleza y las relaciones de los agregados del lenguaje, en tanto que la sintaxis sería una rama de la teoría de los números.

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Figura 9. Triángulo de Rouleaux o diagrama de Venn.

Independientemente de estos esfuerzos parece interesante constatar que se ha usado el triángulo de Rouleaux o el diagrama de Venn en la teoría de los colores. Así, si cada uno de los tres círculos se llena de luz verde, roja y azul obtenemos la mezcla aditiva de tal manera que la intersección del verde y el rojo es de color amarillo, la mezcla del rojo y azul es magenta, y la de azul y verde es cian. Desde luego, la intersección central de los tres colores es blanca. Esto sucede cuando se mezclan las luces de los tres colores, en tanto que la mezcla de pigmentos produce mezclas que se llaman sustractivas, ya que involucran la absorción de la luz que incide sobre los pigmentos y la transmisión de su resta al ojo.

Toda la gama de colores que percibimos se puede obtener por la mezcla de los tres fundamentales, un hecho establecido por primera vez por el fisiólogo Hermann von Helmholtz en 1850. La base biológica de esto se encuentra en el dato de que nuestra retina tiene tres tipos de células receptoras a la luz que son óptimamente sensibles a longitudes de onda de 445 nanómetros, correspondiente al azul, 535 que equivalen al verde y 565 al rojo. Es decir, se puede concebir la visión en color con la idea de tres conjuntos de receptores que son estimulados en diferente grado por la luz. El mismo principio, desde luego, ha sido aplicado para el desarrollo de la televisión a color.

Podría proponerse que el diagrama de Venn subyace también en muchas operaciones metodológicas y cognoscitivas que realizan los científicos y los eruditos. Por ejemplo, uno de los criterios de veracidad en la ciencia de la historia consiste en la comparación de las fuentes en busca de intersecciones. Cuando se detecta información similar en varias fuentes históricas se considera que los hechos tienen mayor probabilidad de haber ocurrido. En el mismo sentido se han generado algunas ideas sobre mecanismos psicológicos o posiciones filosóficas. Por ejemplo, la coincidencia —o si se quiere, la intersección— de temas comunes o aun idénticos en mitologías antiguas y que puede interpretarse como el resultado de comunicación entre las culturas se toma, más parsimoniosamente, y con base en la teoría de los conjuntos, como la manifestación de propiedades inconscientes comunes a la mente humana, como podrían ser, por ejemplo, los arquetipos de Jung. En un sentido afín, el notable pensador y novelista Aldous Huxley escribió un ensayo profusamente documentado del pensamiento místico en múltiples personalidades de culturas separadas ampliamente en el espacio y el tiempo en busca precisamente de los elementos comunes a los que, una vez identificados, denominó La filosofía perenne.

Muchos diagramas simbólicos, como el mandala, se antojan cristalizaciones de capacidades y operaciones cognitivas cinceladas en nuestra biología. De esta forma, no es sorprendente comprobar que el diagrama de Venn es un símbolo que ha aparecido repetidamente en el pasado. Por ejemplo, lo he encontrado en un escudo de armas medieval que se exhibe en el Museo de Artes Regionales de la antigua ciudad de Lugo, España. Al indagar sobre el posible significado del dibujo me topé, en el Diccionario de los símbolos de Chevalier y Gheerbrandt, con un diagrama usado en el siglo XII como símbolo de la Trinidad en una miniatura que se conserva en la catedral de Chartres. Cada uno de los círculos representa allí a una de las tres personas de la Trinidad, en tanto que la intersección está ocupada por la palabra "unidad". Evidentemente, nuestro diagrama ayudó a los teólogos medievales a entender el dogma contradictorio de "tres personas distintas y un solo Dios verdadero".

En la historia del conocimiento recurren las mismas metáforas. Agreguemos una más: ciencia, arte y sabiduría pueden concebirse como conjuntos que se intersectan. La unión de éstos es el conocimiento en su sentido más general, en tanto que su intersección —la unidad de los tres tipos de conocimiento— correspondería a la filosofía.

LA MATEMÁTICA MUSICAL

A juzgar por la convergencia de la ciencia y el arte en la matemática musical, el sueño de una síntesis de la ciencia y las artes parece empezar a hacerse realidad. Entre los antecedentes de esta interdisciplina cabe recordar que en el siglo pasado el físico alemán Ernst Chladni (1756-1827) encontró que la aplicación de un arco de violín a un plato de vidrio espolvoreado con arena produce una vibración que reacomoda la arena en formas simétricas y espectaculares que deslumbraron a Napoleón. Chladni calculó la velocidad del sonido en diferentes gases y con esos datos construyó un instrumento musical, el eufonio, que debería figurar como un antecedente en el juego de los abalorios. En 1967 Hans Jenny desarrolló la técnica de Chladni para visualizar notas musicales: una lámina de metal colocada horizontalmente y espolvoreada uniformemente con arena. En el centro de la cara inferior de la lámina se aplica una vibración física determinada por una nota musical específica. La vibración de la lámina se traduce en un arreglo de la arena en bellas formas concéntricas susceptibles de un análisis matemático que sintetizan las propiedades visuales y geométricas de las notas musicales.

En el momento actual la computadora se ha constituido en un instrumento tanto analítico como interpretativo y creativo en el ámbito de la matemática musical. He aquí algunos ejemplos reunidos en el semanario de publicaciones científicas Current Contents del 4 de noviembre de 1991. Es posible que el análisis matemático de la música permita la producción de obras similares a las composiciones clásicas. En efecto, Kenneth J. Hsu, un profesor de geología del Instituto Federal de Tecnología en Zurich y su hijo Andrew han propuesto que la matematización de las obras de Bach en forma de matrices puede conducir a nuevas construcciones musicales indistinguibles de las obras conocidas de Bach. Mediante el uso de un instrumento electrónico llamado caja fractal de música, los Hsu reducen una composición a su forma fundamental usando la teoría de los fractales. Se produce así una suerte de resumen de los temas que puede ser utilizado para concebir temas similares. Los Hsu encontraron en la música de Bach y de Mozart que los intervalos de frecuencia o los cambios de frecuencia acústica tienen una geometría fractal.

Para entender las propiedades fractales de la música conviene empezar diciendo que la música es un sonido estocástico, es decir, una secuencia de notas que no es totalmente azarosa, lo cual sería ruido, ni totalmente monótona, lo cual sería aburrido. La música que nos interesa tiene una estructura melódica suficientemente previsible para resultar placentera, de tal manera que muchas veces podemos adivinar el desarrollo de una melodía antes de haberla escuchado, sólo por la estructura de la parte que ya oímos. Pero también nos interesa que, dentro del contexto de la estructura previsible, surja una novedad afín a ella, lo cual renueva nuestra atención y estimula el interés.

La geometría fractal se adapta a la naturaleza de manera mucho más precisa que la geometría euclidiana clásica. Es así que las nubes no son esferas, que las costas no son círculos o que los relámpagos no son líneas. Sin embargo, ninguno de ellos es amorfo; su forma es mas compleja y puede ser descrita mejor con esta nueva geometría. De acuerdo con el diáfano ejemplo de Benoit Mandelbrot, el fundador de la teoría de los fractales, si medimos la longitud de un terreno con una vara obtenemos un resultado de X número de varas. Si repetimos el procedimiento con varas cada vez más cortas, el número de varas será cada vez mayor y, en el caso de terrenos teóricamente planos y lisos, el número de varas pequeñas siempre será múltiplo de las varas mayores. Ahora bien, si el terreno es accidentado, el número de varas chicas excederá al de las grandes en proporción mayor a su diferencia de tamaño, porque aquéllas medirán más detalles del terreno que éstas. La relación matemática entre estos números, que suele tener constancias en las formas naturales, es el campo de la geometría de los fractales. Es en este sentido que los Hsu encontraron que las frecuencias y tiempos de la música de Bach y de Mozart se ajustan a la teoría.

Ahora bien, pensemos que la ejecución de una obra musical se compone de dos partes: una partitura, que es una secuencia predeterminada de notas fijada por el compositor, y los factores expresivos, como el tempo o las sutiles modificaciones en duración y volumen que controla el ejecutante o el director. Son precisamente estos últimos la parte fundamental del entrenamiento musical, ya que el aprendizaje del lenguaje musical de las partituras es mucho más fácil que las horas interminables de penitencia que constituyen los tediosos ejercicios a los que debe someterse el futuro concertista para desarrollar el virtuosismo necesario para ejecutar la obra de una manera precisa y creativa. Hasta hace poco, con los sintetizadores y las computadoras era posible solamente imitar la partitura pero no los factores expresivos.

Pues bien, Max Mathews, del Departamento de Música de la Universidad de Stanford, ha descrito un sistema de cómputo que le da a la persona control creativo sobre la ejecución sin necesidad de perfeccionar su técnica. El sistema es lo suficientemente adecuado como para producir música de calidad igual a la de un ejecutante entrenado, al menos para los oídos no educados.

Estos descubrimientos implican que el factor más sutil de la producción conductual que se manifiesta en la música, es decir, la cualidad, es factible de ser analizado y reproducido. En efecto, Manfred Clynes, músico y neurocientífico, ha afirmado que las emociones expresadas en la música tienen forma y que se puede analizar esa forma con una máquina relativamente simple inventada por él que mide las presiones de los dedos en la ejecución de un instrumento. Esto es muy interesante ya que es bien sabido que, a excepción del entrenamiento de la voz, la mayoría de los instrumentos musicales se tocan mediante el aprendizaje de una serie de patrones fundamentales de disposiciones de los dedos llamados digitaciones y que la emoción de la ejecución (el factor expresivo) se trasmite mediante sutiles diferencias en la vibración, la presión y la duración de las digitaciones. Manfred Clynes descubrió algunos parámetros matemáticos de esos pulsos y con ellos programó una computadora para manipular frases, amplitudes y pausas, con lo cual ha empezado a producir expresiones musicales emocionales en la máquina.

El problema remanente de este enfoque es que reduce la expresión musical a la digitación, cuando los ejecutantes avanzados saben que hay un elemento holista en el movimiento que expresa el ejecutante. Dice Yehudi Menuhin:

la mera colocación del dedo, incluyendo el vibrato, cambios de posición y el glissando son todos aspectos del mismo movimiento básico. Todo el cuerpo debe estar involucrado sin ofrecer resistencia en parte alguna, sólo soporte. El objeto del entrenamiento está en el continuo estado de balance, en el equilibrio de todas las partes.

En cualquier caso el avance de la matemática musical es espectacular y la computadora se acerca al juego de los abalorios de Hermann Hesse.

LECTURAS

Alem, J.-P. (1988), Juegos de ingenio y entretenimiento matemático, Gedisa, Barcelona.

Dalmedico, A. D. (1991), "Sophie Germain", Scientific American 265 (6), pp. 76-81.

Chevalier, J., Gheerbrandt, A. (1988), Diccionario de los símbolos, Herder, Barcelona.

Gardner, M. (1987), Los mágicos números del doctor Matrix, Gedisa, Barcelona.

Mandelbrot, B. (1990), "Montañas y dragones fractales: la intuición en la matemática y en las ciencias", en: Sobre la imaginación científica (Wagensberg, J., comp.) Tusquets, Barcelona.

National Council of Teachers of Mathematics (1987), El sistema de los números racionales, Trillas, México.

Rainwater, C. (1971), Light and Color, Golden Science Guide, Nueva York.

Schimmel, A. (1993), The Mystery of Numbers, Oxford University Press, Nueva York.

Tymoczko, T. (1991), "Mathematics, Science and Ontology", Synthese 88, pp. 201-228.

En línea el texto completo en:

http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/152/htm/elabaco.htm

2 comentarios:

NOEL dijo...

Es interesante el fragmento que puso en este post, aunque estoy en desacuerdo con el autor con su idea de que "el status de la matemática en tanto disciplina del saber humano es notoriamente borroso", pues por poner un ejemplo, la parte donde el autor menciona que es de esperarse que la teoría de conjuntos sea la que explique la totalidad de la matemática por ser "más antigua y cognoscitivamente más elemental que la de número", parece insinuar que algún origen psicológico o la forma incidental en que resultó el conocimiento matemático es el motor de tal descripción de las estructuras más complejas en matemáticas. Primeramente, creo que muchos matemáticos hubiesen esperado "teoría de categorías" en lugar de "teoría de conjuntos", y entonces la noción no es tan simple y el autor no hubiera hecho un comentario tan simplista. Me recuerda cierto escrito de S. J. Gould sobre la tendencia preponderante de casi todos los evolucionistas en ese tiempo por darle una explicación en términos evolutivos a muchos fenómenos observados, cuando podían refutarse con mismos argumentos; en este caso, la actitud para las matemáticas al menos en este fragmento del autor, sería parecido a aquellos ya un poco distantes evolucionistas. Sin embargo, siempre es llamativo para mí leer sobre el número Phi, y hay muchas otras relaciones que se pueden mencionar, incluyendo cierta relación con el número "de la bestia", como Phi/2=-sen (666)=-cos (6*6*6) en grados normales. También la figurita del triángulo de Rouleaux resembla (ahí sí psicológicamente) a un nudo, que en inglés lo llaman "threefoil knot". Por último lo felicito por su blog y que se interese por temas que no caen sólo en ese interesante campo en que Ud se ha desarrollado.

JULIO ORTEGA B. dijo...

Gracias mil por el interés y el comentario...

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